Dimensione e rappresentazione di Imf+U e dell'intersezione dei sottospazi

[filipp01]

Ciao a tutti sto preparando l'esame di geometria e mi sono trovato in difficoltà con questo esercizio:

Considerare il seguenteendomorfismo di R^3:
f(x,y,z)=(x+y,2x+2z,3x+y+2z).

1. Determinareladimensione,unabase,unarappresentazionecartesiana
e una parametrica del nucleo e dell’immagine di f.

2. Considerare i sottospazi: Imf e U =〈{(0,0,1)(1,1,2)(2,2,5)}.

Determinare la dimensione e una rappresentazione di Imf+U e di Imf ∩ U. Stabilire se la somma è diretta.

Il mio problema viene fuori con il secondo punto quando mi chiede di prendere in considerazione il sottospazio U. Non ho mai fatto questo tipo di esercizio, come devo muovermi?

Nello spoiler c'è lo svolgimento del primo punto

Partiamo dall'immagine Imf

Riscrivo l'endomorfismo in una matrice 3x3

\(\displaystyle \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] \)
calcolo il determinante alla prima riga e noto che viene: detA = -2 + 2 = 0
Quindi il suo rango sarà 2 poichè noto un minimo il cui determinante è diverso da zero
\(\displaystyle det \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}\right] \)

Quindi posso dire che la dimesione dell'immagine è 2, poichè: dim imf = rgA = 2

Con l'algoritmo di Gauss mi calcolo la base:\(\displaystyle R_3 - 3R_1 , R_2 - 2R_1 , R_3 - R_2
\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \)
Pivot su prima e seconda colonna: \(\displaystyle B_i = \left\{(1, 2, 3) , (1, 0, 1)\right\} \)
Rappresentazione parametrica:
x = h + k
y = 2h
z = 3h + k

Rappresentazione cartesiana: x + y - z = 0

Kerf

Il nucleo di f si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo AX = O

x + y = 0
2x + 2z = 0
3x + y + 2z = 0

Rappresentazione cartesiana:
x + y = 0
2x + 2z = 0

Rappresentazione parametrica:
x = h
y = -h
z = -h

Quindi una base del nucleo f è: \(\displaystyle B_k = \left\{(1, -1, -1)\right\} \)
E la sua dimensione è, grazie al teorema della nullità più rango :

dimV = 3 dim Imf = 2

Quindi dimKerf = 1

[garnak.olegovitc1]

@filipp0,

"filipp0":Ciao a tutti sto preparando l'esame di geometria e mi sono trovato in difficoltà con questo esercizio:

Considerare il seguenteendomorfismo di R^3:
f(x,y,z)=(x+y,2x+2z,3x+y+2z).

1. Determinareladimensione,unabase,unarappresentazionecartesiana
e una parametrica del nucleo e dell’immagine di f.

2. Considerare i sottospazi: Imf e U =〈{(0,0,1)(1,1,2)(2,2,5)}.

Determinare la dimensione e una rappresentazione di Imf+U e di Imf ∩ U. Stabilire se la somma è diretta.

Il mio problema viene fuori con il secondo punto quando mi chiede di prendere in considerazione il sottospazio U. Non ho mai fatto questo tipo di esercizio, come devo muovermi?

Nello spoiler c'è lo svolgimento del primo punto

Partiamo dall'immagine Imf

Riscrivo l'endomorfismo in una matrice 3x3

\(\displaystyle \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] \)
calcolo il determinante alla prima riga e noto che viene: detA = -2 + 2 = 0
Quindi il suo rango sarà 2 poichè noto un minimo il cui determinante è diverso da zero
\(\displaystyle det \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}\right] \)

Quindi posso dire che la dimesione dell'immagine è 2, poichè: dim imf = rgA = 2

Con l'algoritmo di Gauss mi calcolo la base:\(\displaystyle R_3 - 3R_1 , R_2 - 2R_1 , R_3 - R_2
\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \)
Pivot su prima e seconda colonna: \(\displaystyle B_i = \left\{(1, 2, 3) , (1, 0, 1)\right\} \)
Rappresentazione parametrica:
x = h + k
y = 2h
z = 3h + k

Rappresentazione cartesiana: x + y - z = 0

Kerf

Il nucleo di f si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo AX = O

x + y = 0
2x + 2z = 0
3x + y + 2z = 0

Rappresentazione cartesiana:
x + y = 0
2x + 2z = 0

Rappresentazione parametrica:
x = h
y = -h
z = -h

Quindi una base del nucleo f è: \(\displaystyle B_k = \left\{(1, -1, -1)\right\} \)
E la sua dimensione è, grazie al teorema della nullità più rango :

dimV = 3 dim Imf = 2

Quindi dimKerf = 1

vorrei capire bene la consegna, ammetto che non si capisce molto , tu hai:

\( f \in End_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) \) con \(f((x,y,z))=(x+y,2x+2z,3x+y+2z)\)

1) Determinare \( ker(f) \), \( im(f) \), una base del \( ker(f) \) e dell'\(im(f) \), le cartesiane del \( ker(f) \) e dell'\(Im(f) \), le parametriche del \(ker(f) \) e dell'\(Im(f) \)
2) Considerare i sottospazi \(Im(f) \) e \(U =<(0,0,1)(1,1,2)(2,2,5)>\), determinare la dimensione e una rappresentazione di \(Im(f)+U\) e di \(Im(f) ∩ U\). Stabilire se la somma è diretta.

mi confermi? E poi, con la scrittura \(U =<(0,0,1)(1,1,2)(2,2,5)>\) io intendo \( U \) generato dai vettori \( (0,0,1)(1,1,2)(2,2,5) \), confermi? E poi ancora, quando dici "rappresentazione di \(Im(f)+U\) e di \(Im(f) ∩ U\)" intendi "cartesiana"?

Saluti

[filipp01]

Si confermo la consegna dell'esercizio (è scritto proprio così) e anche che sono i generatori di U. Mentre per la rappresentazione del sottospazio somma e del sottospazio intersezione va bene sia la cartesiana che la parametrica.
Grazie per la risposta garnak.olegovitc

[filipp01]

Io ho provato a farlo il secondo punto ma con scarsi risultati, pubblico i miei passaggi?