Dimensione degli autospazi

paola90-votailprof
Bongiorno a tutti. Sto preparando l'esame di geometria, provando quindi a fare parecchi esercizi, ma ogni volta mi si ripresenta un problema...ed è un dubbio che non riesco a levarmi! Vi posto l'esercizio per capire meglio dove potreste aiutarmi.

Sia A la matrice associata ad un endomorfismo.

$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,-1))$

trovare gli aiutovalori e i relativi autospazi.

Ho già calcolato gli autovalori che sono $lambda=0$, $lambda=-1$ e $lambda=2$

per trovare gli autospazi risolvo il sistema $(A -lambdaI)X=0$, ogni volta con ciascun valore di $lambda$.

Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$

il mio dubbio è proprio qua...quando trovo che l'autospazio relativo a un autovalore è il solo vettore nullo, quali conclusioni posso trarre? Questo esercizio lo ha svolto, per la prima parte, il prof a lezione, calcolando solo l'autospazio relativo a $lambda=2$...e ha concluso dicendo di verificare che la somma dei tre sottospazi coincide con $RR^3$... quindi tutti gli autospazi hanno dimensione 1... ma è così anche per l'autospazio con il solo vettore nullo?

Risposte
Steven11
"Paola90":


Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$


Ciao.
Controlla meglio: devi calcolare [tex]$V(-1)$[/tex] e non [tex]$V(1)$[/tex]
E l'autospazio relativo è quello generato dal vettore [tex]$(0,0,1)$[/tex] :wink:

Camillo
Devi calcolare $ V( -1) $ e non $V(1) $ , dovresti ottenere come autospazio relativo $L(0,0,1)$ .

Camillo
Scusa Steven non avevo visto, oggi arrivo sempre dopo :D

mistake89
la dimensione di un autospazio è sicuramente $>=1$ poichè sussiste la seguente relazione $1<=dim(V_lambda_0)<=h(lambda_0)$ ove con $h(lambda_0)$ ho indicato la molteplicità algebrica.

quindi se come in questo caso o conti non tornato, sicuramente c'è un errore di calcolo!

paola90-votailprof
grazie mille...ho fatto un banalissimo errore di distrazione! ...volevo chiedervi un'altra cosa. L'autospazio relativo all'autovalore 0, corrisponde al nucleo dell'applicazione...nel caso otteniamo il vettore nullo (vorrebbe dire che l'applicazione a cui è associata la matrice è iniettiva), l'autospazio ha dimensione 0? o non consideriamo l'autovalore poichè l'autovettore corrispondente è, appunto, nullo? ...o è impossibile che questo avvenga (quindi io in un esercizio precedente ho fatto un altro errore) ?!?

mistake89
Non può accadere per la relazione precedente. Se $0$ è autovalore, allora il nucleo non è banale.

paola90-votailprof
ok...grazie mille.. ricontrollo un pò quell'esercizio

paola90-votailprof
mmm....ho deciso di postarlo...perché non sono convinta..scusatemi..

$B=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$

calcolo gli autovalori: $Det(B-lambdaI)=0$
da cu, se non ho sbagliato calcoli, $lambda(lambda + 1)^2=0$


...come non detto...avevo sbagliato i calcoli poi nel trovare l'autospazio relativo a 0....ed era proprio quello che mi dava problemi!

ho ricontrollato prima di finire di scrivere per inviare la risposta!

mariacristina87
Matrice di autovettori: $ P=((0,1,-1),(0,1,1),(1,0,0)) $ Matrice diagonale: $ D= ((-1,0,0),(0,2,0),(0,0,0)) $

paola90-votailprof
ciao... mi spiegheresti cosa hai fatto?

mariacristina87
"Paola90":
ciao... mi spiegheresti cosa hai fatto?

ciao praticamente,riguardo alla matrice A ho calcolato autovalori e autospazi,dopo aver trovato autovalori e autospazi e dopo aver controllato che la molteplicita'' algebrica e' coincidente con quella geometrica,ossia la matrice e' diagonalizzabile,scrivi la matrice con gli autovettori trovati in colonna e la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale gli autovalori trovati. :wink: :wink:

paola90-votailprof
vero...grazie! non stavo capendo perchè pensavo fosse il completamento dell'ultimo esercizio che ho postato..invece ti riferivi al primo post! Grazie mille..

mariacristina87
"Paola90":
vero...grazie! non stavo capendo perchè pensavo fosse il completamento dell'ultimo esercizio che ho postato..invece ti riferivi al primo post! Grazie mille..

figurati :) io piuttosto nel secondo esercizio ho difficolta' a trovare gli autovalori,forse un errore di calcolo fatto :?

paola90-votailprof
se vuoi ti do una mano.. dovrei aver capito dove sbagliavo!!

mariacristina87
grazie mille :prayer:

paola90-votailprof
non so se il tuo problema è questo, però in una delle mie tante prove,per verificare che non avessi sbagliato calcoli, ho calcolato il determinante della matrice associata $B-lambdaI$ senza fare delle combinazioni lineari...ottenendo come risultato un polinomio in $lambda$ che non riuscivo a scomporre...

mariacristina87
"Paola90":
non so se il tuo problema è questo, però in una delle mie tante prove,per verificare che non avessi sbagliato calcoli, ho calcolato il determinante della matrice associata $B-lambdaI$ senza fare delle combinazioni lineari...ottenendo come risultato un polinomio in $lambda$ che non riuscivo a scomporre...

esatto,mi viene un polinomio che non riesco a scomporre,cosa devo fare? :( :( :(

paola90-votailprof
prova, per il calcolo del determinante, a fare la terza colonna meno la seconda.. poi non esegurè tutti i prodotti ma solo quelli strettamente necessari... ti dovrebbe dare un polinomio già scomposto..

paola90-votailprof
ho ricontrollato..non dà un polinomio non scomponibile, non sarebbe stata una cosa corretta!.. io mi ero dimenticata un prodotto..e alla fine non è complesso neppure in quel modo..

mariacristina87
spiegati meglio.

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