Dimensione degli autospazi
Bongiorno a tutti. Sto preparando l'esame di geometria, provando quindi a fare parecchi esercizi, ma ogni volta mi si ripresenta un problema...ed è un dubbio che non riesco a levarmi! Vi posto l'esercizio per capire meglio dove potreste aiutarmi.
Sia A la matrice associata ad un endomorfismo.
$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,-1))$
trovare gli aiutovalori e i relativi autospazi.
Ho già calcolato gli autovalori che sono $lambda=0$, $lambda=-1$ e $lambda=2$
per trovare gli autospazi risolvo il sistema $(A -lambdaI)X=0$, ogni volta con ciascun valore di $lambda$.
Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$
il mio dubbio è proprio qua...quando trovo che l'autospazio relativo a un autovalore è il solo vettore nullo, quali conclusioni posso trarre? Questo esercizio lo ha svolto, per la prima parte, il prof a lezione, calcolando solo l'autospazio relativo a $lambda=2$...e ha concluso dicendo di verificare che la somma dei tre sottospazi coincide con $RR^3$... quindi tutti gli autospazi hanno dimensione 1... ma è così anche per l'autospazio con il solo vettore nullo?
Sia A la matrice associata ad un endomorfismo.
$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,-1))$
trovare gli aiutovalori e i relativi autospazi.
Ho già calcolato gli autovalori che sono $lambda=0$, $lambda=-1$ e $lambda=2$
per trovare gli autospazi risolvo il sistema $(A -lambdaI)X=0$, ogni volta con ciascun valore di $lambda$.
Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$
il mio dubbio è proprio qua...quando trovo che l'autospazio relativo a un autovalore è il solo vettore nullo, quali conclusioni posso trarre? Questo esercizio lo ha svolto, per la prima parte, il prof a lezione, calcolando solo l'autospazio relativo a $lambda=2$...e ha concluso dicendo di verificare che la somma dei tre sottospazi coincide con $RR^3$... quindi tutti gli autospazi hanno dimensione 1... ma è così anche per l'autospazio con il solo vettore nullo?
Risposte
"Paola90":
Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$
Ciao.
Controlla meglio: devi calcolare [tex]$V(-1)$[/tex] e non [tex]$V(1)$[/tex]
E l'autospazio relativo è quello generato dal vettore [tex]$(0,0,1)$[/tex]
Devi calcolare $ V( -1) $ e non $V(1) $ , dovresti ottenere come autospazio relativo $L(0,0,1)$ .
Scusa Steven non avevo visto, oggi arrivo sempre dopo 
la dimensione di un autospazio è sicuramente $>=1$ poichè sussiste la seguente relazione $1<=dim(V_lambda_0)<=h(lambda_0)$ ove con $h(lambda_0)$ ho indicato la molteplicità algebrica.
quindi se come in questo caso o conti non tornato, sicuramente c'è un errore di calcolo!
quindi se come in questo caso o conti non tornato, sicuramente c'è un errore di calcolo!
grazie mille...ho fatto un banalissimo errore di distrazione! ...volevo chiedervi un'altra cosa. L'autospazio relativo all'autovalore 0, corrisponde al nucleo dell'applicazione...nel caso otteniamo il vettore nullo (vorrebbe dire che l'applicazione a cui è associata la matrice è iniettiva), l'autospazio ha dimensione 0? o non consideriamo l'autovalore poichè l'autovettore corrispondente è, appunto, nullo? ...o è impossibile che questo avvenga (quindi io in un esercizio precedente ho fatto un altro errore) ?!?
Non può accadere per la relazione precedente. Se $0$ è autovalore, allora il nucleo non è banale.
ok...grazie mille.. ricontrollo un pò quell'esercizio
mmm....ho deciso di postarlo...perché non sono convinta..scusatemi..
$B=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$
calcolo gli autovalori: $Det(B-lambdaI)=0$
da cu, se non ho sbagliato calcoli, $lambda(lambda + 1)^2=0$
...come non detto...avevo sbagliato i calcoli poi nel trovare l'autospazio relativo a 0....ed era proprio quello che mi dava problemi!
ho ricontrollato prima di finire di scrivere per inviare la risposta!
$B=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$
calcolo gli autovalori: $Det(B-lambdaI)=0$
da cu, se non ho sbagliato calcoli, $lambda(lambda + 1)^2=0$
...come non detto...avevo sbagliato i calcoli poi nel trovare l'autospazio relativo a 0....ed era proprio quello che mi dava problemi!
ho ricontrollato prima di finire di scrivere per inviare la risposta!
Matrice di autovettori: $ P=((0,1,-1),(0,1,1),(1,0,0)) $ Matrice diagonale: $ D= ((-1,0,0),(0,2,0),(0,0,0)) $
ciao... mi spiegheresti cosa hai fatto?
"Paola90":
ciao... mi spiegheresti cosa hai fatto?
ciao praticamente,riguardo alla matrice A ho calcolato autovalori e autospazi,dopo aver trovato autovalori e autospazi e dopo aver controllato che la molteplicita'' algebrica e' coincidente con quella geometrica,ossia la matrice e' diagonalizzabile,scrivi la matrice con gli autovettori trovati in colonna e la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale gli autovalori trovati.
vero...grazie! non stavo capendo perchè pensavo fosse il completamento dell'ultimo esercizio che ho postato..invece ti riferivi al primo post! Grazie mille..
"Paola90":
vero...grazie! non stavo capendo perchè pensavo fosse il completamento dell'ultimo esercizio che ho postato..invece ti riferivi al primo post! Grazie mille..
figurati
io piuttosto nel secondo esercizio ho difficolta' a trovare gli autovalori,forse un errore di calcolo fatto 
se vuoi ti do una mano.. dovrei aver capito dove sbagliavo!!
grazie mille 
non so se il tuo problema è questo, però in una delle mie tante prove,per verificare che non avessi sbagliato calcoli, ho calcolato il determinante della matrice associata $B-lambdaI$ senza fare delle combinazioni lineari...ottenendo come risultato un polinomio in $lambda$ che non riuscivo a scomporre...
"Paola90":
non so se il tuo problema è questo, però in una delle mie tante prove,per verificare che non avessi sbagliato calcoli, ho calcolato il determinante della matrice associata $B-lambdaI$ senza fare delle combinazioni lineari...ottenendo come risultato un polinomio in $lambda$ che non riuscivo a scomporre...
esatto,mi viene un polinomio che non riesco a scomporre,cosa devo fare?
prova, per il calcolo del determinante, a fare la terza colonna meno la seconda.. poi non esegurè tutti i prodotti ma solo quelli strettamente necessari... ti dovrebbe dare un polinomio già scomposto..
ho ricontrollato..non dà un polinomio non scomponibile, non sarebbe stata una cosa corretta!.. io mi ero dimenticata un prodotto..e alla fine non è complesso neppure in quel modo..
spiegati meglio.
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