Dimensione degli autospazi
Bongiorno a tutti. Sto preparando l'esame di geometria, provando quindi a fare parecchi esercizi, ma ogni volta mi si ripresenta un problema...ed è un dubbio che non riesco a levarmi! Vi posto l'esercizio per capire meglio dove potreste aiutarmi.
Sia A la matrice associata ad un endomorfismo.
$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,-1))$
trovare gli aiutovalori e i relativi autospazi.
Ho già calcolato gli autovalori che sono $lambda=0$, $lambda=-1$ e $lambda=2$
per trovare gli autospazi risolvo il sistema $(A -lambdaI)X=0$, ogni volta con ciascun valore di $lambda$.
Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$
il mio dubbio è proprio qua...quando trovo che l'autospazio relativo a un autovalore è il solo vettore nullo, quali conclusioni posso trarre? Questo esercizio lo ha svolto, per la prima parte, il prof a lezione, calcolando solo l'autospazio relativo a $lambda=2$...e ha concluso dicendo di verificare che la somma dei tre sottospazi coincide con $RR^3$... quindi tutti gli autospazi hanno dimensione 1... ma è così anche per l'autospazio con il solo vettore nullo?
Sia A la matrice associata ad un endomorfismo.
$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,-1))$
trovare gli aiutovalori e i relativi autospazi.
Ho già calcolato gli autovalori che sono $lambda=0$, $lambda=-1$ e $lambda=2$
per trovare gli autospazi risolvo il sistema $(A -lambdaI)X=0$, ogni volta con ciascun valore di $lambda$.
Ho trovato tutti gli autospazi, ossia
$V(2)=L(1,1,0)$
$V(0)=L(-1,1,0)$ e
$V(1)=L(0,0,0)$
il mio dubbio è proprio qua...quando trovo che l'autospazio relativo a un autovalore è il solo vettore nullo, quali conclusioni posso trarre? Questo esercizio lo ha svolto, per la prima parte, il prof a lezione, calcolando solo l'autospazio relativo a $lambda=2$...e ha concluso dicendo di verificare che la somma dei tre sottospazi coincide con $RR^3$... quindi tutti gli autospazi hanno dimensione 1... ma è così anche per l'autospazio con il solo vettore nullo?
Risposte
noi dobbiamo calcolare il polinomio caratteristico,partendo dalla matrice $B=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$ ...quindi calcolare questo determinante: $|(-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(-1,-1,-(2+lambda))|.
Possiamo calcolarlo con diversi metodi, ti scrivo quello con cui mi sono trovata meglio.
$|(-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(-1,-1,-(2+lambda))|= |(-lambda,1,0),(1,-lambda,1+lambda),(-1,-1,-(1+lambda))|$ (per le proprietà del determinante, ho sotratto la seconda colonna alla terza) ...poi lo risolviamo con lo sviluppo di La Place lungo la prima riga da cui
$-lambda|(-lambda,1+lambda),(-1,-(2+lambda))|-|(1,(1+lambda)),(-1,-(1+lambda))|= -lambda(lambda + lambda^2 + 1 + lambda) -(-1 -lambda +1 + lambda)=-lambda(lambda + lambda^2 + 1 + lambda)= -lambda(lambda + 1)^2
ponendo questo risultato uguale a $0$ troviamo le radici del polinomio..
Possiamo calcolarlo con diversi metodi, ti scrivo quello con cui mi sono trovata meglio.
$|(-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(-1,-1,-(2+lambda))|= |(-lambda,1,0),(1,-lambda,1+lambda),(-1,-1,-(1+lambda))|$ (per le proprietà del determinante, ho sotratto la seconda colonna alla terza) ...poi lo risolviamo con lo sviluppo di La Place lungo la prima riga da cui
$-lambda|(-lambda,1+lambda),(-1,-(2+lambda))|-|(1,(1+lambda)),(-1,-(1+lambda))|= -lambda(lambda + lambda^2 + 1 + lambda) -(-1 -lambda +1 + lambda)=-lambda(lambda + lambda^2 + 1 + lambda)= -lambda(lambda + 1)^2
ponendo questo risultato uguale a $0$ troviamo le radici del polinomio..
Ciao,l'ho svolto facendo tutti i calcoli e mi trovo che e' diagonalizzabile:
Autovalori: $t1=0,t2=-1,t3=-1$ $ma(-1)=2,ma(0)=1$
Autospazio $V(-1)$ : $L(-1,1,0),(-1,0,1)$
Autospazio $V(0)$ : $L(-1-1,1)$
Matrice invertibile $P : P^-1*AP=D$ e' questa: $P=((-1,-1,-1),(1,0,-1),(0,1,1))$ e la matrice $D$ e' questa $D=((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$
E' giusto?
Autovalori: $t1=0,t2=-1,t3=-1$ $ma(-1)=2,ma(0)=1$
Autospazio $V(-1)$ : $L(-1,1,0),(-1,0,1)$
Autospazio $V(0)$ : $L(-1-1,1)$
Matrice invertibile $P : P^-1*AP=D$ e' questa: $P=((-1,-1,-1),(1,0,-1),(0,1,1))$ e la matrice $D$ e' questa $D=((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$
E' giusto?
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