Difficoltà esercizi sulle applicazioni lineari
Salve,
ho una certa difficoltà a risolvere due esercizi di algebra lineare e volevo sapere se qualcuno riesce a spiegarmeli
1)Determinare gli eventuali valori di $ lambda $ $ in $ R per i quali l'applicazione lineare:
f( $ lambda $ ) : R^3 $ rarr $ R^3 , f(x,y,z) = (5x+2y,( $ lambda $ -2)z,y-x) è un isomorfismo. Per tali valori di lambda determinare l'inversa di f( $ lambda $ ).
2)Determinare la base e la dimensione del sottospazio vettoriale:
U={(x,y,z,t) $ in $ R^4 : x+y-z=0, t=3x}
Ringrazio in anticipo!
ho una certa difficoltà a risolvere due esercizi di algebra lineare e volevo sapere se qualcuno riesce a spiegarmeli
1)Determinare gli eventuali valori di $ lambda $ $ in $ R per i quali l'applicazione lineare:
f( $ lambda $ ) : R^3 $ rarr $ R^3 , f(x,y,z) = (5x+2y,( $ lambda $ -2)z,y-x) è un isomorfismo. Per tali valori di lambda determinare l'inversa di f( $ lambda $ ).
2)Determinare la base e la dimensione del sottospazio vettoriale:
U={(x,y,z,t) $ in $ R^4 : x+y-z=0, t=3x}
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Idee tue?
Il primo non so proprio come si risolve.. e il secondo io farei cosi:
x=z-y e t=3x sostituendo diventa (z-y,y,z,3x) poi trovo i coefficienti rispetto a x,y,z,t
(z-y,y,z,3x)=x(0,0,0,3)+y(-1,1,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,0,0,0)
escludo i vettori linearmente dipendenti e rimangono (0,0,0,3) e (-1,1,0,0) ma il risultato dell'esercizio è {(1,0,1,3),(0,1,1,0)}
x=z-y e t=3x sostituendo diventa (z-y,y,z,3x) poi trovo i coefficienti rispetto a x,y,z,t
(z-y,y,z,3x)=x(0,0,0,3)+y(-1,1,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,0,0,0)
escludo i vettori linearmente dipendenti e rimangono (0,0,0,3) e (-1,1,0,0) ma il risultato dell'esercizio è {(1,0,1,3),(0,1,1,0)}
Trovo la matrice dell'applicazione:
$|(5,2,0),(0,0,lambda-2),(-1,1,0)|= (lambda-2)(5+2)=> lambda=2 det=0 \text{ , } lambda≠2 det≠0$
Quindi è isomorfismo solo per lambda diverso da due e la sua inversa è:
$((5,2,0,1,0,0),(0,0,lambda-2, 0 ,1,0),(-1,1,0,0,0,1))=>((1,-1,0,0,0,-1),(5,2,0, 1 ,0,0),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))=>$
$=>((1,-1,0,0,0,-1),(0,1,0, 1/7 ,0,5/7),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))=>((1,0,0,1/7,0,-2/7),(0,1,0, 1/7 ,0,5/7),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))$
Quindi l'inversa è:
$((1/7,0,-2/7),(1/7 ,0,5/7),(0,1/(lambda-2),0))$
Nel secondo esercizio hai dimenticato di sostituire tutte le x:
$((x),(y),(z),(t))=>((x),(y),(z),(3x))=> ((z-y),(y),(z),(3z-3y))=> <((1),(0),(1),(3)), ((0),(1),(1),(0))>$
$|(5,2,0),(0,0,lambda-2),(-1,1,0)|= (lambda-2)(5+2)=> lambda=2 det=0 \text{ , } lambda≠2 det≠0$
Quindi è isomorfismo solo per lambda diverso da due e la sua inversa è:
$((5,2,0,1,0,0),(0,0,lambda-2, 0 ,1,0),(-1,1,0,0,0,1))=>((1,-1,0,0,0,-1),(5,2,0, 1 ,0,0),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))=>$
$=>((1,-1,0,0,0,-1),(0,1,0, 1/7 ,0,5/7),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))=>((1,0,0,1/7,0,-2/7),(0,1,0, 1/7 ,0,5/7),(0,0,1,0,1/(lambda-2),0))$
Quindi l'inversa è:
$((1/7,0,-2/7),(1/7 ,0,5/7),(0,1/(lambda-2),0))$
Nel secondo esercizio hai dimenticato di sostituire tutte le x:
$((x),(y),(z),(t))=>((x),(y),(z),(3x))=> ((z-y),(y),(z),(3z-3y))=> <((1),(0),(1),(3)), ((0),(1),(1),(0))>$
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