Differenziale di un'applicazione iniettiva

[cl.mazzella]

Buongiorno a tutti, sto studiando le immersioni differenziali e i differenziali delle applicazioni e mi chiedevo la seguente cosa:
Data una funzione $F: M \rightarrow N$ dove $M$ ed $N$ sono due varietà rispettivamente di dimensioni $m$ ed $n$, immaginando che $F$ sia un'applicazione iniettiva (quindi ad esempio che sia l'inclusione di $M$ in $N$), cosa si può dire sul suo differenziale?
$dF_p: T_pM \rightarrow T_{F(p)}N$, dove $F(p) = p$ considerando $F$ inclusione, è iniettivo?

[j18eos]

Risponditi da solo!

Esempio: la spirale di Archimede. Considera la curva liscia:
\[
f:t\in\mathbb{R}_{>0}\to\left(t\cos(t),t\sin(t)\right)\in\mathbb{R}^2.
\]
Calcolane il differenziale!

[cl.mazzella]

Per quanto riguarda la curva, so che è un'immersione differenziabile se e solo se $f'(t)$ diversi da $0$ per ogni t. Nel caso in questione:
$f'(t) = (cos(t)- tsin(t), sin(t) + tcos(t))$, essa è nulla per valori di $t= 2k\pi$, giusto? Quindi questo è un controesempio per dire che se ho una funzione iniettiva potrebbe non avere differenziale iniettivo?

[j18eos]

No, \(f^{\prime}(t)\) l'hai calcolato correttamente; ma poi vedi meglio!

[cl.mazzella]

Cosa devo guardare esattamente?

[j18eos]

\(\forall t\in\mathbb{R}_{>0},\,f^{\prime}(t)\neq\underline{0}\): come lo dimostreresti?

[cl.mazzella]

$\forall t \in \mathbb{R}_{> 0}$, $f'(t)$ diverso dal vettore nullo se e solo se le sue componenti lo so, quindi se e solo se: $cos(t) - tsin(t) =\ 0$ e $sin(t) + t cos(t) =\ 0$, ciò vale se e solo se $cos(t) =\ tsin(t)$ e $sin(t) =\ -tcos(t)$. Questo è vero per ogni valore di $t in \mathbb{R}_{> 0}$, quindi effettivamente è un'immersione differenziabile, corretto?

[j18eos]

Non ho capìto... calcola la lunghezza di questo vettore!