Differenziale della mappa di Gauss
Presa una superficie orientabile parametrizzata e sia N la mappa di Gauss. Ho quindi un vettore di R^3 ortogonale al piano tangente.
Come calcolo il differenziale della mappa di Gauss? Che applicazione è? Va da R^3 in R^3 come la mappa?
In generale come calcolo il differenziale di un'applicazione?
Vi ringrazio in anticipo, non riesco ad andare avanti con lo studio e quindi vi supplico di darmi un mano, magari con un esempio! Su Abate, Tovena ce ne sono molti ma non capisco nulla! Calcolano il differenziale in un vettore tangente (perchè?) e omettono i calcoli...in poche parole non si capisce come è definito il differenziale e come viene calcolato sul vettore tangente
Come calcolo il differenziale della mappa di Gauss? Che applicazione è? Va da R^3 in R^3 come la mappa?
In generale come calcolo il differenziale di un'applicazione?
Vi ringrazio in anticipo, non riesco ad andare avanti con lo studio e quindi vi supplico di darmi un mano, magari con un esempio! Su Abate, Tovena ce ne sono molti ma non capisco nulla! Calcolano il differenziale in un vettore tangente (perchè?) e omettono i calcoli...in poche parole non si capisce come è definito il differenziale e come viene calcolato sul vettore tangente
Risposte
A me viene in mente la seguente classica barzelletta napoletana:
Devoto: "San Gennà, fammi prendere un terno al lotto!"Implementazione: sono \(\displaystyle xxx\) anni che non vedo la mappa di Gauss, potresti scriverla (in coordinate locali) e postare cosa hai capito del differenziale di mappe lisce?
San Gennaro: "Figlio mio, io ti voglio pure far prendere un terno al lotto, ma comprati il biglietto?!"
"j18eos":
A me viene in mente la seguente classica barzelletta napoletana:Devoto: "San Gennà, fammi prendere un terno al lotto!"Implementazione: sono \(\displaystyle xxx\) anni che non vedo la mappa di Gauss, potresti scriverla (in coordinate locali) e postare cosa hai capito del differenziale di mappe lisce?
San Gennaro: "Figlio mio, io ti voglio pure far prendere un terno al lotto, ma comprati il biglietto?!"
La mappa di Gauss della superficie S è il campo di versori normali N: S---S^2(=R^3) che identifica l'orientazione della superficie.
Se pi = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) è la parametrizzazione della superficie una mappa di Gauss è del tipo (d1 ^ d2) / |d1^d2|, dove d1 è la derivata rispetto a u della parametrizzazione e d2 è la derivata rispetto a v della parametrizzazione e ^ indica il prodotto vettoriale (al denominatore la norma del prodotto vettoriale perchè la mappa è un campo di versori).
Sinceramente sul differenziale della mappa ci ho capito poco, è il prodotto scalare delle derivate parziali della mappa per gli elementi infinitesimi giusto?
In questo caso dovrebbe essere dNp = (dN/du)*du + (dN/dv)*dv. Sbaglio qualcosa?
L'Abate Tovena presenta il differenziale esterno di una funzione a valori in uno spazio vettoriale? In che capitolo?
Insomma potrei scriverti quel differenziale in termini del moving frame (e con un po' di impegno anche in termini di du e dv) però non avrebbe la forma che immagini tu
. Rimane una forma differenziale a valori in uno spazio vettoriale. Insomma sarebbe più simile al pushforward della mappa.
Comunque \(\displaystyle S^2 \) non è per niente uguale a \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), né è un sottoinsieme. È comunque vero che la mappa di Gauss viene generalmente intesa come un mappa non suriettiva \(\displaystyle \mathcal{G}\colon S\to \mathbb{R}^3 \).
L'esercizio ti è stato dato e te lo sei posto da solo?
P.S.: Non usare \(\displaystyle \wedge \) per il prodotto vettoriale in una discussione che parla anche di forme. Il \(\displaystyle \wedge \) è il prodotto esterno di forme.
Insomma potrei scriverti quel differenziale in termini del moving frame (e con un po' di impegno anche in termini di du e dv) però non avrebbe la forma che immagini tu
. Rimane una forma differenziale a valori in uno spazio vettoriale. Insomma sarebbe più simile al pushforward della mappa.Comunque \(\displaystyle S^2 \) non è per niente uguale a \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), né è un sottoinsieme. È comunque vero che la mappa di Gauss viene generalmente intesa come un mappa non suriettiva \(\displaystyle \mathcal{G}\colon S\to \mathbb{R}^3 \).
L'esercizio ti è stato dato e te lo sei posto da solo?
P.S.: Non usare \(\displaystyle \wedge \) per il prodotto vettoriale in una discussione che parla anche di forme. Il \(\displaystyle \wedge \) è il prodotto esterno di forme.
"vict85":
L'Abate Tovena presenta il differenziale esterno di una funzione a valori in uno spazio vettoriale? In che capitolo?
Insomma potrei scriverti quel differenziale in termini del moving frame (e con un po' di impegno anche in termini di du e dv) però non avrebbe la forma che immagini tu
Comunque \(\displaystyle S^2 \) non è per niente uguale a \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), né è un sottoinsieme. È comunque vero che la mappa di Gauss viene generalmente intesa come un mappa non suriettiva \(\displaystyle \mathcal{G}\colon S\to \mathbb{R}^3 \).
L'esercizio ti è stato dato e te lo sei posto da solo?
P.S.: Non usare \(\displaystyle \wedge \) per il prodotto vettoriale in una discussione che parla anche di forme. Il \(\displaystyle \wedge \) è il prodotto esterno di forme.
Ciao scusa ma sinceramente non ci ho capito una mazza di quello che hai scritto (tranne la parte su S^2) e il consiglio sulla notazione. O non so se hai scritto una super****la per prendermi per i fondelli
Cerchiamo di fare chiarezza:
Abate Tovena, capitolo 4, definizione 4.4.5 sulla mappa di Gauss che ho capito. Ragionamento sul fatto che la variazione di N misura la variazione del piano tangente mi sembra chiaro anche.
Dunque prende il differenziale della mappa di Gauss (senza mai scriverlo esplicitamente) e inizia con gli esempi (da Esempio 4.4.7 a 4.4.13). Grazie a questi esempi introduce il fatto che il differenziale della mappa sia un endomorfismo del piano tangente nel punto p.
Adesso il problema è: come fa negli esempi effettivamente a vedere che il differenziale della mappa di gauss calcolato in un vettore del piano tangente restituisca un vettore del piano tangente? Mi mancano proprio i passaggi algebrici che su Abate, Tovena sono dati per scontato.QUindi: come si calcola il differenziale di una mappa? e in particolare della mappa di gauss? Come calcolo, una volta capito come si scriva IN GENERALE il differenziale della mappa, il differenziale calcolato vettore appartente al piano tangente?
Capito, pensavo intendessi il libro di Geometria differenziale e non quello di curve e superfici.
Il tuo problema è che la mappa di Gauss è una mappa da \(S\) a \(\mathbb{R}^3\) e non da \(S\) a \(\mathbb{R}\), pertanto il suo differenziale non ha la forma che hai scritto tu ma la forma \(\displaystyle dN = \begin{pmatrix} A_1 du + A_2 dv \\ B_1 du + B_2 dv \\ C_1 du + C_2 dv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ B_1 \\ C_1\end{pmatrix}du + \begin{pmatrix} A_2 \\ B_2 \\ C_2 \end{pmatrix}dv \). Cioè, in assenza di metodologie più avanzate, devi fare il calcolo in coordinate. Non so se mi sono spiegato. Parti da fare le due derivate \(\displaystyle d1 = (x_u, y_u, z_u)^t \) e \(\displaystyle d2 = (x_v, y_v, z_v)^t\), quindi trovi \(\displaystyle N \) in coordinate. Ed infine derivi la funzione vettoriale.
Il tuo problema è che la mappa di Gauss è una mappa da \(S\) a \(\mathbb{R}^3\) e non da \(S\) a \(\mathbb{R}\), pertanto il suo differenziale non ha la forma che hai scritto tu ma la forma \(\displaystyle dN = \begin{pmatrix} A_1 du + A_2 dv \\ B_1 du + B_2 dv \\ C_1 du + C_2 dv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ B_1 \\ C_1\end{pmatrix}du + \begin{pmatrix} A_2 \\ B_2 \\ C_2 \end{pmatrix}dv \). Cioè, in assenza di metodologie più avanzate, devi fare il calcolo in coordinate. Non so se mi sono spiegato. Parti da fare le due derivate \(\displaystyle d1 = (x_u, y_u, z_u)^t \) e \(\displaystyle d2 = (x_v, y_v, z_v)^t\), quindi trovi \(\displaystyle N \) in coordinate. Ed infine derivi la funzione vettoriale.
Se tu prendi una parametrizzazione locale per una superficie puoi trovare i vettori tangenti alle curve coordinare, se immergi il tutto in $\matbb{R}^3$ puoi fare il prodotto vettoriale e trovi un vettore normale, la mappa di Gauss non è altro che il campo vettoriale che a ogni punto della superficie associa il vettore normale. Adesso se considero il differenziale di sta roba non trovo altro che lo Jacobiano della mappa, questo dovrebbe essere il differenziale
"vict85":
Capito, pensavo intendessi il libro di Geometria differenziale e non quello di curve e superfici.
Il tuo problema è che la mappa di Gauss è una mappa da \(S\) a \(\mathbb{R}^3\) e non da \(S\) a \(\mathbb{R}\), pertanto il suo differenziale non ha la forma che hai scritto tu ma la forma \(\displaystyle dN = \begin{pmatrix} A_1 du + A_2 dv \\ B_1 du + B_2 dv \\ C_1 du + C_2 dv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ B_1 \\ C_1\end{pmatrix}du + \begin{pmatrix} A_2 \\ B_2 \\ C_2 \end{pmatrix}dv \). Cioè, in assenza di metodologie più avanzate, devi fare il calcolo in coordinate. Non so se mi sono spiegato. Parti da fare le due derivate \(\displaystyle d1 = (x_u, y_u, z_u)^t \) e \(\displaystyle d2 = (x_v, y_v, z_v)^t\), quindi trovi \(\displaystyle N \) in coordinate. Ed infine derivi la funzione vettoriale.
Ok chiara la definizione di differenziale. Grazie a te e anche a Werner che ha risposto subito dopo!
Altri due piccoli dubbi: 1) A1,B1,C1 e A2,B2,C2 cosa rappresentano? Sono variabili?
"ZorroM":
Ok chiara la definizione di differenziale. Grazie a te e anche a Werner che ha risposto subito dopo!
Altri due piccoli dubbi: 1) A1,B1,C1 e A2,B2,C2 cosa rappresentano? Sono variabili?
Non ho fatto il calcolo ma dovrebbero essere funzioni lineari di \(x_{uu}, x_{uv}, x_{vv}, y_{uu}, y_{uv}, y_{vv}, z_{uu}, z_{uv}, z_{vv}\) (ovvero le derivate seconde delle funzioni \(\displaystyle x,y,z \)). In ogni caso sono funzioni in \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \).
Nota che \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial u} (\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = \biggl(\frac{\partial}{\partial u} \mathbf{p}\biggr)\times\mathbf{q} + \mathbf{p}\times\biggl(\frac{\partial}{\partial u} \mathbf{q}\biggr) \) quindi puoi derivare il tutto dalla formula iniziale.
"vict85":
[quote="ZorroM"]Ok chiara la definizione di differenziale. Grazie a te e anche a Werner che ha risposto subito dopo!
Altri due piccoli dubbi: 1) A1,B1,C1 e A2,B2,C2 cosa rappresentano? Sono variabili?
Non ho fatto il calcolo ma dovrebbero essere funzioni lineari di \(x_{uu}, x_{uv}, x_{vv}, y_{uu}, y_{uv}, y_{vv}, z_{uu}, z_{uv}, z_{vv}\) (ovvero le derivate seconde delle funzioni \(\displaystyle x,y,z \)). In ogni caso sono funzioni in \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \).
Nota che \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial u} (\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = \biggl(\frac{\partial}{\partial u} \mathbf{p}\biggr)\times\mathbf{q} + \mathbf{p}\times\biggl(\frac{\partial}{\partial u} \mathbf{q}\biggr) \) quindi puoi derivare il tutto dalla formula iniziale.[/quote]
Grazie ancora, su Curve e Superfici calcola il differenziale nel vettore del piano tangente v = v1d1 + v2d2 (d1,d2 è la base del piano tangente). Come lo applico al differenziale? Devo solo moltiplicare la prima colonna per lo scalare v1 e la seconda colonna per lo scalare v2?
Se non sbaglio tu parti da
$$dN = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} du +\frac{\partial f_1}{\partial v} dv \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} du +\frac{\partial f_2}{\partial v} dv \\ \frac{\partial f_3}{\partial 3} du +\frac{\partial f_3}{\partial v} dv \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} \frac{\partial f_1}{\partial v} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} \frac{\partial f_2}{\partial v} \\ \frac{\partial f_3}{\partial 3} \frac{\partial f_3}{\partial v}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$
Se ora, molto euristicamente, metti al posto di $du$ e $dv$, variazioni infinitesime delle coordinare, metti $u-u_0$ e $v-v_0$, variazioni finite delle coordinate, trovi un vettore che approssima ninearmente la tua mappa.
Per fare un esempio più semplice pensa a quando calcoli il piano tangente ad una superficie, supponiamo una superficie catesiana, avrai $f(x,y)=z$, consideri allora $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$, ora per trovaire il piano tangente in un punto fai $\nabla F \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$. Qui fai un pò la stessa cosa, solo che il gradiente diventa la matrice Jacobiana e l'approssimazione lineare della mappa non è più uno scalare, ma un vettore
$$dN = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} du +\frac{\partial f_1}{\partial v} dv \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} du +\frac{\partial f_2}{\partial v} dv \\ \frac{\partial f_3}{\partial 3} du +\frac{\partial f_3}{\partial v} dv \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} \frac{\partial f_1}{\partial v} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} \frac{\partial f_2}{\partial v} \\ \frac{\partial f_3}{\partial 3} \frac{\partial f_3}{\partial v}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$
Se ora, molto euristicamente, metti al posto di $du$ e $dv$, variazioni infinitesime delle coordinare, metti $u-u_0$ e $v-v_0$, variazioni finite delle coordinate, trovi un vettore che approssima ninearmente la tua mappa.
Per fare un esempio più semplice pensa a quando calcoli il piano tangente ad una superficie, supponiamo una superficie catesiana, avrai $f(x,y)=z$, consideri allora $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$, ora per trovaire il piano tangente in un punto fai $\nabla F \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$. Qui fai un pò la stessa cosa, solo che il gradiente diventa la matrice Jacobiana e l'approssimazione lineare della mappa non è più uno scalare, ma un vettore
Tramite una trasformazione delle variabili puoi supporre che \(\displaystyle \lVert \mathbf{r}_u\rVert = \lVert \mathbf{r}_v\rVert = 1 \). Pongo \(\displaystyle \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v = \mathbf{n} \).
Questo implica che \(\displaystyle 0 = \frac{\partial}{\partial \alpha}\rVert \mathbf{r}_{\beta}\lVert^2 = \frac{\partial}{\partial \alpha} \langle \mathbf{r}_{\beta}, \mathbf{r}_{\beta}\rangle = 2\langle \mathbf{r}_{\beta}, \mathbf{r}_{\alpha \beta}\rangle\) per ogni \(\displaystyle \alpha,\beta\in\{ u, v \} \).
Ovvero \(\displaystyle \mathbf{r}_u \perp \mathbf{r}_{uu} \), \(\displaystyle \mathbf{r}_u \perp \mathbf{r}_{uv} \), \(\displaystyle \mathbf{r}_v \perp \mathbf{r}_{vv} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_v \perp \mathbf{r}_{uv} \). Perciò \(\displaystyle \mathbf{r}_{uv} \parallel \mathbf{n} \).
Similmente da \(\displaystyle \lVert \mathbf{n}\rVert = 1 \) ricavo che \(\displaystyle \mathbf{n} \perp \mathbf{n}_{u} \) e \(\displaystyle \mathbf{n} \perp \mathbf{n}_{v} \). Siccome \(\displaystyle dN = \mathbf{n}_{u} du + \mathbf{n}_{v} dv \) sai che il differentiale di \(\displaystyle N \) è nel piano tangente.
Si ha che \(\displaystyle \mathbf{n}_{u} = \frac{\partial}{\partial u} (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) = \mathbf{r}_{uu} \times\mathbf{r}_v + \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_{uv} \). Se \(\displaystyle \mathbf{r}_u \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_v \) fossero perpendicolari, si potrebbe dire che \(\displaystyle \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_{uv} \) è nella direzione di \(\displaystyle \mathbf{r}_{v} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_{uu} \times\mathbf{r}_v \) verso \(\displaystyle \mathbf{r}_u \) (o nulla). Similmente per \(\displaystyle \mathbf{n}_{u}\).
EDIT: mi sono accorto di un piccolo errore. È da un po' che non faccio questi calcoli in coordinate.
Questo implica che \(\displaystyle 0 = \frac{\partial}{\partial \alpha}\rVert \mathbf{r}_{\beta}\lVert^2 = \frac{\partial}{\partial \alpha} \langle \mathbf{r}_{\beta}, \mathbf{r}_{\beta}\rangle = 2\langle \mathbf{r}_{\beta}, \mathbf{r}_{\alpha \beta}\rangle\) per ogni \(\displaystyle \alpha,\beta\in\{ u, v \} \).
Ovvero \(\displaystyle \mathbf{r}_u \perp \mathbf{r}_{uu} \), \(\displaystyle \mathbf{r}_u \perp \mathbf{r}_{uv} \), \(\displaystyle \mathbf{r}_v \perp \mathbf{r}_{vv} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_v \perp \mathbf{r}_{uv} \). Perciò \(\displaystyle \mathbf{r}_{uv} \parallel \mathbf{n} \).
Similmente da \(\displaystyle \lVert \mathbf{n}\rVert = 1 \) ricavo che \(\displaystyle \mathbf{n} \perp \mathbf{n}_{u} \) e \(\displaystyle \mathbf{n} \perp \mathbf{n}_{v} \). Siccome \(\displaystyle dN = \mathbf{n}_{u} du + \mathbf{n}_{v} dv \) sai che il differentiale di \(\displaystyle N \) è nel piano tangente.
Si ha che \(\displaystyle \mathbf{n}_{u} = \frac{\partial}{\partial u} (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) = \mathbf{r}_{uu} \times\mathbf{r}_v + \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_{uv} \). Se \(\displaystyle \mathbf{r}_u \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_v \) fossero perpendicolari, si potrebbe dire che \(\displaystyle \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_{uv} \) è nella direzione di \(\displaystyle \mathbf{r}_{v} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_{uu} \times\mathbf{r}_v \) verso \(\displaystyle \mathbf{r}_u \) (o nulla). Similmente per \(\displaystyle \mathbf{n}_{u}\).
EDIT: mi sono accorto di un piccolo errore. È da un po' che non faccio questi calcoli in coordinate.
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