Differenziabile se e solo se la restrizione è differenziabile

[nostradamus1]

Ciao a tutti,
sto preparando un esame di geometria per l'università e ci sono alcuni esercizi che mi danno problemi.
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi con questo:

"provare che un'applicazione $F : M \rightarrow N $ con M,N varietà differenziabili è differenziabile se e solo se $\forall p \in M $ $\exists U$ aperto di M contenente p tale che la restrizione $F_{|U} $ è differenziabile".


Grazie mille

[killing_buddha]

Comincerei ricordando la definizione di differenziabile; un verso poi è ovvio, se $F$ è differenziabile prendi $U=M$ ed ecco fatto. Viceversa... prova a ricoprire $M$ con aperti ristretta $F$ ai quali essa è differenziabile: la giunzione di funzioni differenziabili è ancora differenziabile?

[nostradamus1]

Grazie , un 'ultima domanda.
Per la condizione sufficiente, era venuto in mente anche a me un modo analogo, ma mi ha bloccato questo dubbio:

presa una varietà differenziabile M e preso U aperto di M è sempre possibile definire una $ \varphi$ mappa coordinata di dominio U? In altre parole preso U aperto di M esiste sempre una $\varphi$ tale che $ (U, \varphi ) $ sia una carta locale?

Perchè ammesso questo, allora siccome per ipotesi sappiamo che per ogni punto p esiste un aperto U che lo contiene, mi basta ricoprire M con questi aperti U, che a questo punto formano un atlante su M. So che ogni ristretta è differenziabile, la composizione di differenziabili è differenziabile, quindi F è differenziabile.