Differenza tra permutazione e applicazione identica
Salve a tutti, all'improvviso causa esame universitario mi ritrovo a studiare algebra lineare. Ho un dubbio su due definizioni.
Nel capitolo che riguarda le applicazioni, c'è scritto che un'applicazione di S in S, si dice applicazione identica. Poi c'è scritto che la applicazione identica è biettiva.
Poi c'è scritto che un'applicazione biettiva di un insieme non vuoto di S in S è detta permutazione di S.
Ma se un'applicazione di S in S è la applicazione identica, ed essa è biettiva, allora permutazione e applicazione identica non sono sinonimi?? L'unica differenza che trovo tra le definizioni è che per la permutazione si parla di insieme non vuoto... Quindi deduco che è questa la differenza? una permutazione è un'applicazione biettiva di un insieme non vuoto mentre una applicazione identica (biettiva per definizione) può essere anche di un insieme vuoto?
Scusate se ho scritto castronerie e grazie a chi vorrà aiutarmi.
Nel capitolo che riguarda le applicazioni, c'è scritto che un'applicazione di S in S, si dice applicazione identica. Poi c'è scritto che la applicazione identica è biettiva.
Poi c'è scritto che un'applicazione biettiva di un insieme non vuoto di S in S è detta permutazione di S.
Ma se un'applicazione di S in S è la applicazione identica, ed essa è biettiva, allora permutazione e applicazione identica non sono sinonimi?? L'unica differenza che trovo tra le definizioni è che per la permutazione si parla di insieme non vuoto... Quindi deduco che è questa la differenza? una permutazione è un'applicazione biettiva di un insieme non vuoto mentre una applicazione identica (biettiva per definizione) può essere anche di un insieme vuoto?
Scusate se ho scritto castronerie e grazie a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Le permutazione sono applicazioni biiettive $S \to S$.
L'applicazione identica è quella particolare permutazione che fissa tutti gli elementi, ovvero $id: S \to S, x \mapsto x$
Le permutazioni sono tante (quante dipende dalla cardinalità dell'insieme), la funzione identica è una particolare permutazione, ed è unica.
Per esempio, dato \(S = \{1,2\}\), vi sono due permutazioni \(1 \mapsto 2, 2\mapsto 1\) e \(1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2\). La seconda è l'identità
L'applicazione identica è quella particolare permutazione che fissa tutti gli elementi, ovvero $id: S \to S, x \mapsto x$
Le permutazioni sono tante (quante dipende dalla cardinalità dell'insieme), la funzione identica è una particolare permutazione, ed è unica.
Per esempio, dato \(S = \{1,2\}\), vi sono due permutazioni \(1 \mapsto 2, 2\mapsto 1\) e \(1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2\). La seconda è l'identità
Grazie mille davvero, sei stato molto veloce, breve e conciso. Finalmente ho capito la differenza che intercorre tra questi due elementi dell'algebra.
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