Differenza tra C e R^2
Definizione di C: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Definizione di R^2: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Ho letto che c'è una corrispondenza biunivoca tra C e R^2. ma mi chiedevo se si potesse dire di più. Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Definizione di R^2: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Ho letto che c'è una corrispondenza biunivoca tra C e R^2. ma mi chiedevo se si potesse dire di più. Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Risposte
Sbaglio o dal punto di vista geometrico si ha generalmente che $ RR^(n+1) $ è equivalente a $ CC^n $? O vale solo per $ n = 1,2 $ ?
Aspetta chiariamo definizione di equivalenza?
"newton_1372":La domanda è mal posta.
Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Ci sono (ovviamente) infinite operazioni che si possono definire su [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Di solito si considerano solo le seguenti (le notazioni [tex]\ast_1[/tex] e [tex]\ast_2[/tex] le ho inventate io, non sono universali):
- [tex]+:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] definita da [tex](a,b)+(c,d) := (a+c,b+d)[/tex];
- [tex]\cdot: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] definita da [tex]r \cdot (a,b) := (ra,rb)[/tex] (si tratta di un'operazione esterna);
- [tex]\ast_1: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] definita da [tex](a,b) \ast_1 (c,d) := (ac,bd)[/tex];
- [tex]\ast_2: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] definita da [tex](a,b) \ast_2 (c,d) := (ac-bd,ad+bc)[/tex];
Di solito quando si scrive [tex]\mathbb{R}^2[/tex] lo si pensa dotato delle operazioni [tex]+[/tex] e [tex]\cdot[/tex] (se lo si vuole pensare come spazio vettoriale), oppure [tex]+[/tex] e [tex]\ast_1[/tex] (se lo si vuole pensare come anello).
[tex]\mathbb{C}[/tex] e' l'insieme [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dotato di [tex]+[/tex] e [tex]\ast_2[/tex].
In pratica, [tex]\mathbb{R}^2[/tex] e [tex]\mathbb{C}[/tex] insiemisticamente sono uguali ma sono dotati di operazioni diverse. Tutto qui.
Spero di aver fatto chiarezza
Ma a voler essere proprio rigorosi potremmo dire che comunque gli elementi di R2 sono vettori mentre gli elementi di C sono numeri. Ed ecco che la demarcazione fra "numero" e "vettore" si fa sempre più sottile...
"newton_1372":No, no. Le parole "vettore" e "numero" sono solo parole, servono a chiarire cosa uno sta dicendo. Se vuoi pensare agli elementi di [tex]\mathbb{C}[/tex] come a coppie allora li chiami vettori. Se vuoi pensarci come a cose del tipo [tex]a+ib[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex] allora li chiami numeri.
Ma a voler essere proprio rigorosi potremmo dire che comunque gli elementi di R2 sono vettori mentre gli elementi di C sono numeri. Ed ecco che la demarcazione fra "numero" e "vettore" si fa sempre più sottile...
Siamo noi che inventiamo le parole e le usiamo, cerchiamo di non invertire le parti
"Deckard":Non so cosa intendi con "punto di vista geometrico", ma direi che $CC^n$ è "equivalente a" $RR^(2n)$
Sbaglio o dal punto di vista geometrico si ha generalmente che $ RR^(n+1) $ è equivalente a $ CC^n $? O vale solo per $ n = 1,2 $ ?
E' equivalente, eppure non è equivalente...(vedere commenti precedenti). Non c'è che dire, la matematica ha anche il suo misterioso lato "soggettivo"...mentre credevo che fosse il trionfo dell'oggettività:)
"Gi8":Non so cosa intendi con "punto di vista geometrico", ma direi che $CC^n$ è "equivalente a" $RR^(2n)$[/quote]
[quote="Deckard"]Sbaglio o dal punto di vista geometrico si ha generalmente che $ RR^(n+1) $ è equivalente a $ CC^n $? O vale solo per $ n = 1,2 $ ?
Premessa: la mia affermazione era consapevolmente imprecisa e informale e anche tutto quello che segue va preso come tale.
Provo a spiegarmi, è una cosa che mi è venuta in mente studiando i principi della meccanica quantistica e la necessità di utilizzare coeff. complessi nel vettore di stato del sistema.
Poniamoci nel caso $ n = 2 $. Sia $ v in CC^2 $. Ciascuna componente del vettore può essere considerata come un vettore in un piano reale; il vettore $v$ può quindi rappresentare un vettore in uno spazio tridimensionale reale e possiamo per es. implementare delle rotazioni in questo spazio tridimensionale nonostante $v$ abbia solo due componenti poiché queste sono complesse (cosa che con $ u in RR^2$ ovviamente non possiamo fare: qualsiasi rotazione di $u$ è una rotazione del vettore nello stesso piano, non possiamo implementare una "rotazione tridimensionale"). Inoltre se vogliamo implementare una qualsiasi trasformazione unitaria (ovvero che preserva la norma del vettore, come una rotazione) "in moto continuo" (nel senso che se esiste $U$ unitaria allora deve esistere anche $ V $ unitaria t.c. $ V^2 = U $) in $n$ dimensioni, dobbiamo o usare coefficienti complessi oppure usare vettori reali a $n + 1$ componenti.
Mi chiedevo quindi se questa analogia tra $ C^n $ e $ RR^(n+1)$ sia più profonda e valida in tutte le dimensioni.
E' equivalente, eppure non è equivalente...(vedere commenti precedenti). Non c'è che dire, la matematica ha anche il suo misterioso lato "soggettivo"...mentre credevo che fosse il trionfo dell'oggettività
Non direi. Tutto dipende dal significato che uno attribuisce alle parole, simboli. Stabilita una notazione (un linguaggio) comune non credo si possa parlare di "soggettività" della matematica. Il problema è appunto quello di definire un linguaggio comune.
"Deckard":Perchè tridimensionale?
Sia $ v in CC^2 $. Ciascuna componente del vettore può essere considerata come un vettore in un piano reale; il vettore $v$ può quindi rappresentare un vettore in uno spazio tridimensionale reale ...
Se $ulv in CC^2$, allora $EE a,b,c,d in RR$ tali che $ulv=(a+ib,c+id)$
Quindi direi che $(a+ib,c+id) sim (a,b,c,d) in RR^4$
Il tuo ragionamento è corretto, però dopo credo che cada la questione delle trasformazioni unitarie. Si può mappare un vettore $ v in CC^2 $ in uno spazio tridimensionale reale ad es. considerando ogni componente del vettore complesso come un vettore reale in un piano così ottieni due vettori in due piani che possiamo supporre ortogonali e la loro somma è un vettore nello spazio tridimensionale reale.
L'idea di mappare un vettore (unitario) $ v in CC^2 $ in $ RR^3 $ è usata per rappresentare lo stato di un qubit nella sfera di Bloch.
EDIT: ah, naturalmente l'applicazione da $ CC^2 $ a $ RR^3 $ non è uno-a-uno.
Quando ho usato, impropriamente e infelicemente, la parola "equivalente" intendevo dire che possiamo usare $ RR^3 $ per rappresentare i vettori in $ CC^2 $. Mi chiedevo se ciò vale in maniera analoga anche in dimensioni superiori.
L'idea di mappare un vettore (unitario) $ v in CC^2 $ in $ RR^3 $ è usata per rappresentare lo stato di un qubit nella sfera di Bloch.
EDIT: ah, naturalmente l'applicazione da $ CC^2 $ a $ RR^3 $ non è uno-a-uno.
Quando ho usato, impropriamente e infelicemente, la parola "equivalente" intendevo dire che possiamo usare $ RR^3 $ per rappresentare i vettori in $ CC^2 $. Mi chiedevo se ciò vale in maniera analoga anche in dimensioni superiori.
Però, scusa, se, come dici tu, l'applicazione $f:CC^2->RR^3$ non è biunivoca,
non puoi dire nemmeno "che possiamo usare $RR^3$ per rappresentare i vettori in $CC^2$"
Ad esempio ti chiedo, posti
$ulx=(1,0)$, $uly=(i,0)$, $ulw=(0,1)$, $ulz=(0,i)$, tutti appartenenti a $CC^2$ (possiamo dire che sono una base per $CC^2$),
come definisci $f(ulx),f(uly),f(ulw),f(ulz)$?
non puoi dire nemmeno "che possiamo usare $RR^3$ per rappresentare i vettori in $CC^2$"
Ad esempio ti chiedo, posti
$ulx=(1,0)$, $uly=(i,0)$, $ulw=(0,1)$, $ulz=(0,i)$, tutti appartenenti a $CC^2$ (possiamo dire che sono una base per $CC^2$),
come definisci $f(ulx),f(uly),f(ulw),f(ulz)$?
"Antimius":
@angus89: ma con che topologia stai pensando i due spazi? Perché a me in topologia capita spesso di identificarli (entrambi equipaggiati della metrica standard); ad esempio mi capita di pensare la sfera [tex]$S^1 \subseteq \mathbb{C}$[/tex] invece che [tex]$S^1 \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex]. Credo mi sfugga qualcosa, perché non ho capito a che situazione ti stai riferendo.
Pultroppo sto seguendo poco la discussione ma almeno rispondo a quello che dico...
Gli spazi sono omeomorfi ma ad esempio se consideriamo il completamento proiettivo di $RR^2$ o quello di $CC$...bè non è proprio la stessa cosa...
E si, angus, ma il completamento proiettivo non è una questione di topologia. E' questo che dicevo pure io prima: il punto di vista topologico forse è l'unico sotto il quale $RR^2$ e $CC$ sono esattamente la stessa cosa. Non mi sembra quindi azzeccato, volendo parlare di differenze tra le due strutture, puntare proprio sulla topologia.
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