Diffeomorfismo locale \(\iff\) differenziale è isomorfismo
Ciao, amici! Trovo enunciato sul Sernesi, Geometria II, il teorema secondo cui, se \(f:X\to Y\) è un morfismo di varietà differenziabili ed \(x\in X\),\( f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y) \) si ha che se il differenziale \(f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y)\) è un isomorfismo in $x$ allora $f$ è un diffeomorfismo locale in $x$.
Nel trattare diffeomorfismi, il Sernesi annuncia, in un capitolo precedente a quello in cui trovo questo teorema, che, salvo specificare altrimenti, si riferirà a diffeomorfismi di classe \(\text{C}^{(\infty)}\). Invece qui trovo questo teorema, con dimostrazione lasciata al lettore, come conseguenza del teorema di inversione locale che prova, per \(f\in\text{C}^{(1)}(U,\mathbb{R}^n)\) con \(U\subset\mathbb{R}^n\), l'esistenza di un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) (in tutte le versioni che conosco io, da quella che ho sul libro di analisi a quella riportata dal Sernesi a, per esempio, quella che ho linkato).
Direi che l'autore del mio libro di geometria sottintenda che, se sono soddisfatte le ipotesi del teorema, $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) in $x$, ma non necessariamente di classe \(\text{C}^{(\infty)}\), giusto?
Grazie di cuore a chi mi aiuterà in questo sforzo filologico...
Nel trattare diffeomorfismi, il Sernesi annuncia, in un capitolo precedente a quello in cui trovo questo teorema, che, salvo specificare altrimenti, si riferirà a diffeomorfismi di classe \(\text{C}^{(\infty)}\). Invece qui trovo questo teorema, con dimostrazione lasciata al lettore, come conseguenza del teorema di inversione locale che prova, per \(f\in\text{C}^{(1)}(U,\mathbb{R}^n)\) con \(U\subset\mathbb{R}^n\), l'esistenza di un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) (in tutte le versioni che conosco io, da quella che ho sul libro di analisi a quella riportata dal Sernesi a, per esempio, quella che ho linkato).
Direi che l'autore del mio libro di geometria sottintenda che, se sono soddisfatte le ipotesi del teorema, $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) in $x$, ma non necessariamente di classe \(\text{C}^{(\infty)}\), giusto?
Grazie di cuore a chi mi aiuterà in questo sforzo filologico...
Risposte
Di almeno classe $C^(1)$ 
Wow, Maci86: risposta in tempo reale!!! Metto nota a matita a margine...
Anche l'implicazione inversa, cioè che se $f$ è un diffeomorfismo locale in $x$ allora il differenziale \(f_{\ast x}\) è un isomorfismo, vale anche se $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(C^1\), vero?
Lo chiedo perché il Sernesi l'ha dimostrato sottintendendo che sia di classe \(C^{\infty}\), ma tante cose che dimostra in questo caso più restrittivo mi accorgo che valgono anche per applicazioni di classe \(C^1\)...
\(\infty\) grazie ancora!!!
Anche l'implicazione inversa, cioè che se $f$ è un diffeomorfismo locale in $x$ allora il differenziale \(f_{\ast x}\) è un isomorfismo, vale anche se $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(C^1\), vero?
Lo chiedo perché il Sernesi l'ha dimostrato sottintendendo che sia di classe \(C^{\infty}\), ma tante cose che dimostra in questo caso più restrittivo mi accorgo che valgono anche per applicazioni di classe \(C^1\)...
\(\infty\) grazie ancora!!!
Si, se è di classe $C^1$ ha la derivata continua e funziona. Differente sarebbe se fosse di classe $C^0$.
\(\aleph_1\) grazie (aumentiamo di cardinalità...)!!! 
Si comunque se $f$ è di classe $C^\infty$ poi pure l'inversa locale sarà di classe $C^\infty$. Te ne accorgi differenziando l'equazione
\[
x=f^{-1}(f(x)),
\]
che vale quando $x$ è in un intornino di $x_0$ (spero sia ovvio chi sia $x_0$).
In ogni modo tieni ben presente che Sernesi, come tutti i geometri, non si preoccupa troppo di queste amenità analitiche e si mette sempre in ipotesi che gli permettano di non uscire dalla categoria delle funzioni di classe $C^\infty$.
\[
x=f^{-1}(f(x)),
\]
che vale quando $x$ è in un intornino di $x_0$ (spero sia ovvio chi sia $x_0$).
In ogni modo tieni ben presente che Sernesi, come tutti i geometri, non si preoccupa troppo di queste amenità analitiche e si mette sempre in ipotesi che gli permettano di non uscire dalla categoria delle funzioni di classe $C^\infty$.
\(\aleph_1\) grazie anche a te, dissonance, veramente gentile\(\text{}^{\infty}\)...!
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