Diagonalizzazione ortogonale
Ho un endomorfismo simmetrico associato alla matrice
$M = ((0,1,2),(1,2,3),(2,3,4))$
che devo diagonalizzare ortogonalmente. Una volta trovato gli autovettori, come la trovo la norma? Io usavo il prodotto scalare standard di \(\mathbb{R}^3\). Cioè, indicando con \(v=(v_1,v_2,v_3)\) l'autovettore, quello normalizzato lo trovavo così: \[ \frac{1}{\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}}(v_1,v_2,v_3) ,\]
cioè per me la norma era \(||v||=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}\) ma altri mi hanno detto che non va bene e dovrei usare, in un qualche modo, quella matrice. A me questa corsa non torna, perché \(M\) è associata ad un endomorfismo di \(\mathbb{R}^3\), non al prodotto scalare! Chi ha ragione?
Grazie.
$M = ((0,1,2),(1,2,3),(2,3,4))$
che devo diagonalizzare ortogonalmente. Una volta trovato gli autovettori, come la trovo la norma? Io usavo il prodotto scalare standard di \(\mathbb{R}^3\). Cioè, indicando con \(v=(v_1,v_2,v_3)\) l'autovettore, quello normalizzato lo trovavo così: \[ \frac{1}{\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}}(v_1,v_2,v_3) ,\]
cioè per me la norma era \(||v||=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}\) ma altri mi hanno detto che non va bene e dovrei usare, in un qualche modo, quella matrice. A me questa corsa non torna, perché \(M\) è associata ad un endomorfismo di \(\mathbb{R}^3\), non al prodotto scalare! Chi ha ragione?
Grazie.
Risposte
Ah, dipende cosa dice esattamente il problema.
Ma poi gli autovettori di un endomorfismo autoaggiunto sono già ortogonali perchè dovresti anche normalizzarli ?
Ma poi gli autovettori di un endomorfismo autoaggiunto sono già ortogonali perchè dovresti anche normalizzarli ?
"Quinzio":
Ah, dipende cosa dice esattamente il problema.
Ma poi gli autovettori di un endomorfismo autoaggiunto sono già ortogonali perchè dovresti anche normalizzarli ?
Non ho trattato gli "endomorfismi autoaggiunti", lo farò l'anno prossimo.
Il testo dell'esercizio è:
Sia \(\displaystyle {M}={\left(\matrix{{0}&{1}&{2}\\{1}&{2}&{3}\\{2}&{3}&{4}}\right)}\) la matrice associata ad un endomorfismo simmetrico \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) rispetto alla base canonica di \(\mathbb{R}^3\). Trovare una base ortonormale di autovettori per f.
Un endomorfismo a matrice associata simmetrica è autoaggiunto.
(Nessuno ti vieta di dare un'occhiata all'argomento).
Ok, allora devi trovare una base ortonormale, non solo ortogonale. Siccome la base è quella canonica, va bene usare il prodotto scalare standard.
(Nessuno ti vieta di dare un'occhiata all'argomento).
Ok, allora devi trovare una base ortonormale, non solo ortogonale. Siccome la base è quella canonica, va bene usare il prodotto scalare standard.
"Quinzio":
Un endomorfismo a matrice associata simmetrica è autoaggiunto.
(Nessuno ti vieta di dare un'occhiata all'argomento).
Ok, allora devi trovare una base ortonormale, non solo ortogonale. Siccome la base è quella canonica, va bene usare il prodotto scalare standard.
Perfetto, molte grazie! Dunque il mio procedimento è corretto?
Io direi di si...
"Quinzio":
Io direi di si...
Perfetto, grazie! Mi ero "spaventato" quando quel compagno di corso di mi ha detto quella cosa... xD
"Quinzio":però la base rispetto a cui prendi la matrice deve essere ortonormale.
Un endomorfismo a matrice associata simmetrica è autoaggiunto.
(Nessuno ti vieta di dare un'occhiata all'argomento).
Comunque, questo esercizio sarà anche meccanico, ma vengono dei conti roba... :'(
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