Diagonalizzazione matrici
Salve a tutti,
sto affrontando l'esame di calcolo a algebra lineare, per quanto riguarda le matrici quadrate non ho problemi nel calcolare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti e capire poi se la matrice sia diagonalizzabile, ma mi sfugge una cosa, in pratica qual'è l'utilità pratica del sapere che una matrice è diagonalizzabile?
sto affrontando l'esame di calcolo a algebra lineare, per quanto riguarda le matrici quadrate non ho problemi nel calcolare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti e capire poi se la matrice sia diagonalizzabile, ma mi sfugge una cosa, in pratica qual'è l'utilità pratica del sapere che una matrice è diagonalizzabile?
Risposte
É una buona domanda ma ammette moltissime risposte. In genere, e secondo la mia personale opinione, tutta la teoria spettrale ha la massima importanza quando una matrice deve essere iterata, ovvero moltiplicata per sé stessa. Data una matrice \(A\) di dimensione \(n\times n\), prova a calcolare \(A^2\). Se \(A\) é diagonale, questo calcolo é immediato, mentre se non lo é, puó dover richiedere fino a \(n^2\) operazioni (forse anche di piú! devo ammettere la mia imbarazzante ignoranza in questioni di calcolo numerico).
Qui stiamo parlando di \(A^2\). Ma nella pratica, é estremamente importante calcolare qualcosa di ancora piú complicato; l'esponenziale di una matrice, data dalla formula
\[
I+A+\frac{A^2}{2}+\frac{A^3}{6}+\ldots\]
Non c'é solo \(A^2\), qui. C'é anche \(A^3, A^4\) e cosí via. Se dovessimo metterci tutte quelle operazioni per calcolare ogni termine, ci vorrebbero secoli per calcolare anche solo una esponenziale di matrice.
Qui stiamo parlando di \(A^2\). Ma nella pratica, é estremamente importante calcolare qualcosa di ancora piú complicato; l'esponenziale di una matrice, data dalla formula
\[
I+A+\frac{A^2}{2}+\frac{A^3}{6}+\ldots\]
Non c'é solo \(A^2\), qui. C'é anche \(A^3, A^4\) e cosí via. Se dovessimo metterci tutte quelle operazioni per calcolare ogni termine, ci vorrebbero secoli per calcolare anche solo una esponenziale di matrice.
Se vogliamo limitarci al calcolo numerico, estendo leggermente la risposta di dissonance: ogni matrice quadrata (reale) \(\displaystyle A\) avente solo autovalori reali può essere riscritta in forma canonica di Jordan, la quale permette di calcolare il suo esponenziale \(\displaystyle\exp(A)\).
In breve, si ottiene che \(\displaystyle A\) è simile a una somma tra una matrice diagonale (avente sulla diagonale gli autovalori ripetuti secondo la molteplicità algebrica[nota]La quale è sempre maggiore o uguale della molteplicità geometrica[/nota]) e una matrice nilpotente[nota]Una matrice \(\displaystyle T\) si definisce nilpotente se \(\displaystyle T^n=\underline{0}\)per qualche potenza \(\displaystyle n\)-sima[/nota]; da cui si capisce che l'esponenziale è calcolabile facilmente in maniera algoritmica.
In breve, si ottiene che \(\displaystyle A\) è simile a una somma tra una matrice diagonale (avente sulla diagonale gli autovalori ripetuti secondo la molteplicità algebrica[nota]La quale è sempre maggiore o uguale della molteplicità geometrica[/nota]) e una matrice nilpotente[nota]Una matrice \(\displaystyle T\) si definisce nilpotente se \(\displaystyle T^n=\underline{0}\)per qualche potenza \(\displaystyle n\)-sima[/nota]; da cui si capisce che l'esponenziale è calcolabile facilmente in maniera algoritmica.
"dissonance":
[...] Data una matrice \(A\) di dimensione \(n\times n\), prova a calcolare \(A^2\). Se \(A\) é diagonale, questo calcolo é immediato, mentre se non lo é, puó dover richiedere fino a \(n^2\) operazioni (forse anche di piú! devo ammettere la mia imbarazzante ignoranza in questioni di calcolo numerico). [...]
Questo pezzo e' leggermente impreciso imho. Calcolare gli autovalori e autovettori di una matrice (densa) e' un'operazione computazionalmente dispendiosa... io nemmeno sono un esperto di complessita' ma probabilmente calcolare \( A^2 \) usando riga per colonna e' equivalente a calcolarne autospazi etc...
Il vero vantaggio viene qui:
"dissonance":
[...] Qui stiamo parlando di \(A^2\). Ma nella pratica, é estremamente importante calcolare qualcosa di ancora piú complicato; l'esponenziale di una matrice, data dalla formula
\[
I+A+\frac{A^2}{2}+\frac{A^3}{6}+\ldots\]
Non c'é solo \(A^2\), qui. C'é anche \(A^3, A^4\) e cosí via. Se dovessimo metterci tutte quelle operazioni per calcolare ogni termine, ci vorrebbero secoli per calcolare anche solo una esponenziale di matrice.
In generale su operatori simmetrici e compatti (e quindi su matrici, diciamo hermitiane/simmetriche) si applica tutta la potenza di fuoco del calcolo funzionale (dai un'occhiata all'abstract e alla Proposition)[nota]Mi e' piaciuto questo: "I will be using elementary linear algebra techniques, so this should be accessible to everyone. [...] Consider the Banach Algebra [...]"
[/nota].
"alsandro":
Salve a tutti,
sto affrontando l'esame di calcolo a algebra lineare, per quanto riguarda le matrici quadrate non ho problemi nel calcolare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti e capire poi se la matrice sia diagonalizzabile, ma mi sfugge una cosa, in pratica qual'è l'utilità pratica del sapere che una matrice è diagonalizzabile?
Forse sai già che le matrici quadrate rappresentano le applicazioni lineari $f:mathbb(V) -> mathbb(V)$ di uno spazio vettoriale in sé quando si siano fissate due coordinazioni nel dominio e nel codominio (il che vuol dire, fissate due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^\prime$, potenzialmente differenti, in $mathbb(V)$).
Ora, in generale, la matrice $F$ associata ad $f$ rispetto a $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^\prime$ può essere "arbitrariamente brutta", nel senso può essere piena di entrate non nulle ed anche molto schifezzose per farci i conti.
Si pone dunque il problema: è possibile scegliere le due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^\prime$ in modo da semplificare il più possibile la matrice $F$?
Visto che le matrici più semplici possibili (a parte quelle con un'unica entrata non nulla) sono quelle diagonali, si può riformulare la domanda precedente come: è possibile scegliere le due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^\prime$ in modo che la matrice $F$ sia diagonale?
La risposta, in generale è sì (cfr. questo post di AF2208).
Tuttavia le due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^\prime$ possono essere anche molto diverse tra loro, sicché le due coordinazioni di $mathbb(V)$ possono essere differenti e lo stesso vettore $v in mathbb(V)$ è rappresentato da $n$-uple diverse nel dominio e nel codominio.
Per eliminare questo problema di rappresentazione, potremmo chiederci: è possibile scegliere una stessa base $mathcal(B)$, messa sia nel dominio sia nel codominio, rispetto alla quale la matrice $F$ sia diagonale?
La risposta, in generale, è no.
Tuttavia, se gli autovettori dell'applicazione $f$ formano una base dello spazio $mathbb(V)$, allora si può scegliere $mathcal(B)=mathcal(B)^\prime ="base di " mathbb(V) " formata da autovettori"$ e, fatta tale scelta, la matrice $F$ diventa proprio diagonale; in particolare, diventa la matrice avente sulla diagonale gli autovalori di $f$.
@dissonance
[ot]
E molto molto molto probabilmente il risultato è tutt'altro che accurato, a causa di errori di cancellazione che avvengono quando le potenze diventano sempre più grandi
L'esponenziale di matrice è una delle bestie peggiori dell'algebra lineare numerica.[/ot]
[ot]
"dissonance":
Se dovessimo metterci tutte quelle operazioni per calcolare ogni termine, ci vorrebbero secoli per calcolare anche solo una esponenziale di matrice.
E molto molto molto probabilmente il risultato è tutt'altro che accurato, a causa di errori di cancellazione che avvengono quando le potenze diventano sempre più grandi
L'esponenziale di matrice è una delle bestie peggiori dell'algebra lineare numerica.[/ot]
"gugo82":
È possibile scegliere le due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^prime$ in modo che la matrice $F$ sia diagonale?
La risposta, in generale, è no.
In realtà la risposta è sì, se sono ammesse basi distinte per dominio e codominio: se $f$ ha rango $r$, si possono scegliere le due basi in modo che la matrice che rappresenti $f$ sia nella forma egin{pmatrix}
I_r&O\
O&O\
end{pmatrix}
Chiaramente quello che dici è vero se si vuole che le due basi coincidano.
"AF2208":
[quote="gugo82"]
È possibile scegliere le due basi $mathcal(B)$ e $mathcal(B)^prime$ in modo che la matrice $F$ sia diagonale?
La risposta, in generale, è no.
In realtà la risposta è sì, se sono ammesse basi distinte per dominio e codominio: se $f$ ha rango $r$, si possono scegliere le due basi in modo che la matrice che rappresenti $f$ sia nella forma egin{pmatrix}
I_r&O\
O&O\
end{pmatrix}
Chiaramente quello che dici è vero se si vuole che le due basi coincidano.[/quote]
E questa pure è una realtà… Stavo implicitamente pensando alla diagonalizzazione, quindi mi è scappato.
Grazie per avermelo fatto notare. Ora correggo.
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