Diagonalizzazione matrice con parametro

[Mathstudent05]

Salve a tutti, domani ho un esame di Geometria 1 e sono disperata.
Avrei un dubbio sulla diagonalizzazione di questa matrice 4x4 , A=
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Con il parametro a appartenente ai reali.
Come faccio a dimostrare che è diagonalizzabile senza applicare il solito procedimento che in questo caso risulta pieno di calcoli. Grazie in anticipo per la risposta.

[TizioCaio3]

La matrice è sempre simmetrica -> sempre diagonalizzabile.
in forza del teorema spettrale per matrici simmetriche

[Mathstudent05]

Il problema è che devo trovare la matrice diagonale simile. Il mio professore ha detto che nel caso esposto sopra non c’è bisogno di calcolare il polinomio caratteristico nel modo usuale, perchè richiederebbe troppi calcoli, come posso fare allora, sono disperata

[TizioCaio3]

edit: vedi risposta sotto

[.Ruben.17]

La matrice ha rango 1
Dunque 4 autovalori sono nulli e la matrice diagonale ha solo un elemento sulla diagonale non nullo.
Secondo me basta trovare quello, semplicemente sfruttando il fatto che la matrice ha tutti gli elementi uguali: allora per simmetria se la moltiplichi a destra per un vettore colonna di tutti 1, il risultato sará ancora un vettore colonna con tutte le colonne identiche.
Ciò implica (salvo errori) che l'unico autovalore é 4a