Diagonalizzazione Matrice?
Chi mi sà dare una mano con questa matrice:
t...0...t
t...0...t
1...1..2
devo verificare la diagonalizzabilità al variare di t.
Ho trovato gli Autovolori:
- "0" con Molteplicità alg:2
- "t-2" con Molteplicità algebrica = 1
come faccio a trovare quella geometrica e a trarre le conclusioni??? A me verrebbere diverse, per cui non è diagonaliz. giusto?
Grazie a tutti
t...0...t
t...0...t
1...1..2
devo verificare la diagonalizzabilità al variare di t.
Ho trovato gli Autovolori:
- "0" con Molteplicità alg:2
- "t-2" con Molteplicità algebrica = 1
come faccio a trovare quella geometrica e a trarre le conclusioni??? A me verrebbere diverse, per cui non è diagonaliz. giusto?
Grazie a tutti
Risposte
Per la molteplicità geometrica: sostituisci
l' autovalore trovato nel sistema lineare da cui eri partito, e vedi
la dimensione delle spazio delle soluzioni.
l' autovalore trovato nel sistema lineare da cui eri partito, e vedi
la dimensione delle spazio delle soluzioni.
Okok, quello lo sò. Volevo conferma dei risultati.
Per l'autovalore "0" avrei molteplicità geometrica =1. A questo punto posso fermarmi e dire che non è diagonalizzabile, senza controllare il "t-2"??
Grazie a tutti per le risposte.
Per l'autovalore "0" avrei molteplicità geometrica =1. A questo punto posso fermarmi e dire che non è diagonalizzabile, senza controllare il "t-2"??
Grazie a tutti per le risposte.
"Whise":
Per l'autovalore "0" avrei molteplicità geometrica =1.
Per ogni valore di $t$?
Cosi sembra!
Forse è diagonaliz per t=0???
Forse è diagonaliz per t=0???
Ragioniamo insieme.
Stiamo cercando la molteplicità geometrica dell'autovalore $0$.
Che cos'è? Come si trova?
Stiamo cercando la molteplicità geometrica dell'autovalore $0$.
Che cos'è? Come si trova?
la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio:
lo calcolo per l'autovalore 0:
t..0..t x 0
t..0..t y = 0
1..1..2 z 0
scrivo il sistema associato e trovo che la dimensione delle soluzioni è 1. giusto?
lo calcolo per l'autovalore 0:
t..0..t x 0
t..0..t y = 0
1..1..2 z 0
scrivo il sistema associato e trovo che la dimensione delle soluzioni è 1. giusto?
E' giusto il modo di calcolare l'autospazio.
Purtroppo sbagli a risolvere il sistema corrispondente, che è
${(tx+tz=0),(tx+tz=0),(x+y+2z=0):}$
Si tratta di un sistema dipendente da un parametro $t\in RR$ di 3 equazioni nella 3 incognite $x,y,z$.
Quante sono le soluzioni? Pensaci un po', non sono sempre $infty^1$. Dovresti applicare il teorema di Rouchè-Capelli...
Tieni conto che prima avevi accennato (senza giustificare) la soluzione giusta. Io sto cercando di portarti alla soluzione con la teoria...
Purtroppo sbagli a risolvere il sistema corrispondente, che è
${(tx+tz=0),(tx+tz=0),(x+y+2z=0):}$
Si tratta di un sistema dipendente da un parametro $t\in RR$ di 3 equazioni nella 3 incognite $x,y,z$.
Quante sono le soluzioni? Pensaci un po', non sono sempre $infty^1$. Dovresti applicare il teorema di Rouchè-Capelli...
Tieni conto che prima avevi accennato (senza giustificare) la soluzione giusta. Io sto cercando di portarti alla soluzione con la teoria...
Penso di aver capito, risolvendo il sistema nel "mio modo", divido per t, che ovviamente pongo quindi diverso da 0.
Poi dovrei studiare il caso in cui t=0.
Esatto?
Poi dovrei studiare il caso in cui t=0.
Esatto?
Esatto. Non credo che dovresti trovare difficoltà a risolvere il caso $t=0$. Si trova che, per $t=0$, $A$ è diagonalizzabile. Lascio a te i dettagli.
E questo conclude l'esercizio.
Comunque se a te serve solo calcolare la molteplicità geometrica di un autovalore, puoi anche evitare di risolvere il sistema omogeneo corrispondente.
Ti basta sapere il rango $r$ della matrice dei coefficienti (nel tuo caso questo rango dipende da $t$).
Dal teorema di Rouchè-Capelli, la dimensione dell'autospazio (ovvero la molteplicità geometrica) sarà $n-r$ (dove $n$ è il numero delle incognite).
Un'ultima cosa: le prossime volte cerca di usare le formule (click) per rappresentare le matrici o i sistemi. Vedrai che il tuo messaggio sarà molto più chiaro.
Tieni conto che dopo 30 messaggi l'uso delle formule è obbligatorio.
E questo conclude l'esercizio.
Comunque se a te serve solo calcolare la molteplicità geometrica di un autovalore, puoi anche evitare di risolvere il sistema omogeneo corrispondente.
Ti basta sapere il rango $r$ della matrice dei coefficienti (nel tuo caso questo rango dipende da $t$).
Dal teorema di Rouchè-Capelli, la dimensione dell'autospazio (ovvero la molteplicità geometrica) sarà $n-r$ (dove $n$ è il numero delle incognite).
Un'ultima cosa: le prossime volte cerca di usare le formule (click) per rappresentare le matrici o i sistemi. Vedrai che il tuo messaggio sarà molto più chiaro.
Tieni conto che dopo 30 messaggi l'uso delle formule è obbligatorio.
Grazie mille per l'aiuto.
Per le prossime volte sarò più attento.
Per le prossime volte sarò più attento.
Prego. Buono Studio 
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