Diagonalizzazione (Geometria I)
Testo:
Date $A=((1,0,0),(1,-1,0),(2,3,2))$ e $B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2))$
Determinare una matrice $P$ tale che $P^-1AP=B$
Svolgimento (fino a quando mi blocco): Inizio a trovare gli autovalori di A
$Det(A-lambdaI)=|(1-lambda,0,0),(1,-1-lambda,0),(2,3,2-lambda)|=(1-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)=0$ Segue che $lambda=-1$, $lambda=1$, $lambda=2$ sono autovalori di $A$ con molteplicità $M=1$.
Calcolo gli autospazi: ...Mi ci vuole un sacco di tempo, comunque mettiamo che vengano $V_-1=L(x1,x2,x3)$, $V_1=L(y1,y2,y3)$, $V_-2=L(z1,z2,z3)$.
Adesso cosa faccio? Qual'è la matrice $P$? E un'altra cosa, ho visto che la diaonale della matrice $B$ è composta dagli autovalori di $A$. Non è un caso, ma perchè sono ordinati proprio in quel modo, perchè ad esempio non ci sono sulla diagonale $-1, 2, 1$ in quest'ordine, o in qualsiasi altro? Grazie mille.
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Intanto che ci sono aggiungo un'altra domanda. Se $C$ è una matrice $inR^(n,n)$ non simmetrica, è possibile trovare una matrice $Q$ tale che $D=^tQCQ$? Il teorema spettrale non dice nulla a riguardo (Penso).
Date $A=((1,0,0),(1,-1,0),(2,3,2))$ e $B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2))$
Determinare una matrice $P$ tale che $P^-1AP=B$
Svolgimento (fino a quando mi blocco): Inizio a trovare gli autovalori di A
$Det(A-lambdaI)=|(1-lambda,0,0),(1,-1-lambda,0),(2,3,2-lambda)|=(1-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)=0$ Segue che $lambda=-1$, $lambda=1$, $lambda=2$ sono autovalori di $A$ con molteplicità $M=1$.
Calcolo gli autospazi: ...Mi ci vuole un sacco di tempo, comunque mettiamo che vengano $V_-1=L(x1,x2,x3)$, $V_1=L(y1,y2,y3)$, $V_-2=L(z1,z2,z3)$.
Adesso cosa faccio? Qual'è la matrice $P$? E un'altra cosa, ho visto che la diaonale della matrice $B$ è composta dagli autovalori di $A$. Non è un caso, ma perchè sono ordinati proprio in quel modo, perchè ad esempio non ci sono sulla diagonale $-1, 2, 1$ in quest'ordine, o in qualsiasi altro? Grazie mille.
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Intanto che ci sono aggiungo un'altra domanda. Se $C$ è una matrice $inR^(n,n)$ non simmetrica, è possibile trovare una matrice $Q$ tale che $D=^tQCQ$? Il teorema spettrale non dice nulla a riguardo (Penso).
Risposte
Nella matrice $P$ metti gli autovettori che hai trovato...però li devi mettere nell'ordine tale da avere poi come matrice diagonale $B$
"leev":Ma io ho trovato degli autospazi... le quali basi se messe in riga di sicuro non danno $B$..
Nella matrice $P$ metti gli autovettori che hai trovato...però li devi mettere nell'ordine tale da avere poi come matrice diagonale $B$
puoi postare gli autospazi che hai trovato?
Come non detto, viene.
Grazie ciao.
Grazie ciao.
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