Diagonalizzazione di matrici ortogonali
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
Sia \(\displaystyle P \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice ortogonale. E' vero che, per \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle n=3 \) la matrice \(\displaystyle P \) è diagonalizzabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \)? Cosa accade su \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Ciò che so è che una matrice si dice ortogonale quando le sue righe (o le sue colonne) sono una base ortonormale, in questo caso di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \); equivalentemente quando \(\displaystyle PP^t=I \) oppure \(\displaystyle P^t=P^{-1} \).
Mentre una matrice è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore vale \(\displaystyle \mathrm{mult}(\lambda) = \dim E_{\lambda} \).
Ora non saprei da cosa cominciare... Mi verrebbe prima di tutto da dire che ogni matrice ortogonale di ordine 2, con determinante pari ad 1, rappresenta una rotazione nel piano in senso antiorario attorno all'origine; da cui avrà questa forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (\cos\theta -x )^2+\sin^2\theta = x^2-(2\cos\theta)x +1 \)
\(\displaystyle \lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta-1} \)
In \(\displaystyle \mathbb{R} \) questa equazione ha soluzione solo se il radicando è positivo \(\displaystyle \cos^2\theta = 1 \Leftrightarrow \theta = k\pi , \forall k \in \mathbb{Z}\) quindi
\(\displaystyle \lambda = \cos(k\pi) \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile (previo qualche strafalcione che probabilmente ho scritto...)
Mentre le matrici ortogonali di ordine 2, aventi determinante pari a -1 sono della forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}-\sin(\theta)&\cos(\theta)\\\cos(\theta)&\sin(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (-\sin\theta -x)(\sin\theta -x)- \cos^2\theta = x^2 - 1 \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Nuovamente gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile, quindi mi verrebbe da dire che in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) le matrici ortogonali di ordine due sono sempre diagonalizzabili. Il resto dell'esercizio non so come farlo, si potrebbe dire che ogni matrice ortogonale 3x3 rappresenti una rotazione in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) attorno ad un asse passante per l'origine? qualcuno mi da una mano nel capire questi concetti? Ho l'impressione che il metodo che sto usando sia eccessivamente lungo e macchinoso... Grazie tante dell'aiuto, aspetto una vostra risposta!
Sia \(\displaystyle P \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice ortogonale. E' vero che, per \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle n=3 \) la matrice \(\displaystyle P \) è diagonalizzabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \)? Cosa accade su \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Ciò che so è che una matrice si dice ortogonale quando le sue righe (o le sue colonne) sono una base ortonormale, in questo caso di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \); equivalentemente quando \(\displaystyle PP^t=I \) oppure \(\displaystyle P^t=P^{-1} \).
Mentre una matrice è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore vale \(\displaystyle \mathrm{mult}(\lambda) = \dim E_{\lambda} \).
Ora non saprei da cosa cominciare... Mi verrebbe prima di tutto da dire che ogni matrice ortogonale di ordine 2, con determinante pari ad 1, rappresenta una rotazione nel piano in senso antiorario attorno all'origine; da cui avrà questa forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (\cos\theta -x )^2+\sin^2\theta = x^2-(2\cos\theta)x +1 \)
\(\displaystyle \lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta-1} \)
In \(\displaystyle \mathbb{R} \) questa equazione ha soluzione solo se il radicando è positivo \(\displaystyle \cos^2\theta = 1 \Leftrightarrow \theta = k\pi , \forall k \in \mathbb{Z}\) quindi
\(\displaystyle \lambda = \cos(k\pi) \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile (previo qualche strafalcione che probabilmente ho scritto...)
Mentre le matrici ortogonali di ordine 2, aventi determinante pari a -1 sono della forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}-\sin(\theta)&\cos(\theta)\\\cos(\theta)&\sin(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (-\sin\theta -x)(\sin\theta -x)- \cos^2\theta = x^2 - 1 \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
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