Diagonalizzazione di matrici ortogonali
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
Sia \(\displaystyle P \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice ortogonale. E' vero che, per \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle n=3 \) la matrice \(\displaystyle P \) è diagonalizzabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \)? Cosa accade su \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Ciò che so è che una matrice si dice ortogonale quando le sue righe (o le sue colonne) sono una base ortonormale, in questo caso di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \); equivalentemente quando \(\displaystyle PP^t=I \) oppure \(\displaystyle P^t=P^{-1} \).
Mentre una matrice è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore vale \(\displaystyle \mathrm{mult}(\lambda) = \dim E_{\lambda} \).
Ora non saprei da cosa cominciare... Mi verrebbe prima di tutto da dire che ogni matrice ortogonale di ordine 2, con determinante pari ad 1, rappresenta una rotazione nel piano in senso antiorario attorno all'origine; da cui avrà questa forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (\cos\theta -x )^2+\sin^2\theta = x^2-(2\cos\theta)x +1 \)
\(\displaystyle \lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta-1} \)
In \(\displaystyle \mathbb{R} \) questa equazione ha soluzione solo se il radicando è positivo \(\displaystyle \cos^2\theta = 1 \Leftrightarrow \theta = k\pi , \forall k \in \mathbb{Z}\) quindi
\(\displaystyle \lambda = \cos(k\pi) \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile (previo qualche strafalcione che probabilmente ho scritto...)
Mentre le matrici ortogonali di ordine 2, aventi determinante pari a -1 sono della forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}-\sin(\theta)&\cos(\theta)\\\cos(\theta)&\sin(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (-\sin\theta -x)(\sin\theta -x)- \cos^2\theta = x^2 - 1 \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Nuovamente gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile, quindi mi verrebbe da dire che in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) le matrici ortogonali di ordine due sono sempre diagonalizzabili. Il resto dell'esercizio non so come farlo, si potrebbe dire che ogni matrice ortogonale 3x3 rappresenti una rotazione in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) attorno ad un asse passante per l'origine? qualcuno mi da una mano nel capire questi concetti? Ho l'impressione che il metodo che sto usando sia eccessivamente lungo e macchinoso... Grazie tante dell'aiuto, aspetto una vostra risposta!
Sia \(\displaystyle P \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice ortogonale. E' vero che, per \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle n=3 \) la matrice \(\displaystyle P \) è diagonalizzabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \)? Cosa accade su \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Ciò che so è che una matrice si dice ortogonale quando le sue righe (o le sue colonne) sono una base ortonormale, in questo caso di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \); equivalentemente quando \(\displaystyle PP^t=I \) oppure \(\displaystyle P^t=P^{-1} \).
Mentre una matrice è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore vale \(\displaystyle \mathrm{mult}(\lambda) = \dim E_{\lambda} \).
Ora non saprei da cosa cominciare... Mi verrebbe prima di tutto da dire che ogni matrice ortogonale di ordine 2, con determinante pari ad 1, rappresenta una rotazione nel piano in senso antiorario attorno all'origine; da cui avrà questa forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (\cos\theta -x )^2+\sin^2\theta = x^2-(2\cos\theta)x +1 \)
\(\displaystyle \lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta-1} \)
In \(\displaystyle \mathbb{R} \) questa equazione ha soluzione solo se il radicando è positivo \(\displaystyle \cos^2\theta = 1 \Leftrightarrow \theta = k\pi , \forall k \in \mathbb{Z}\) quindi
\(\displaystyle \lambda = \cos(k\pi) \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile (previo qualche strafalcione che probabilmente ho scritto...)
Mentre le matrici ortogonali di ordine 2, aventi determinante pari a -1 sono della forma:
\(\displaystyle R_{\theta} = \begin{bmatrix}-\sin(\theta)&\cos(\theta)\\\cos(\theta)&\sin(\theta)\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle p(x) = (-\sin\theta -x)(\sin\theta -x)- \cos^2\theta = x^2 - 1 \)
\(\displaystyle \lambda = \pm 1 \)
Nuovamente gli autovalori sono due e distinti per cui la matrice è diagonalizzabile, quindi mi verrebbe da dire che in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) le matrici ortogonali di ordine due sono sempre diagonalizzabili. Il resto dell'esercizio non so come farlo, si potrebbe dire che ogni matrice ortogonale 3x3 rappresenti una rotazione in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) attorno ad un asse passante per l'origine? qualcuno mi da una mano nel capire questi concetti? Ho l'impressione che il metodo che sto usando sia eccessivamente lungo e macchinoso... Grazie tante dell'aiuto, aspetto una vostra risposta!
Risposte
Ciao, mi sembra che tu e andreadel1988 stiate preparando lo stesso esame, è così? 
Per $n=3$ ti puoi ridurre al caso $n=2$ grazie a un cambio di base. Prima osservi che il polinomio caratteristico di $P$ ha grado $3$, quindi ammette una radice reale $r$. Poi dimostri che $r= pm 1$ (come? Scegliendo un autovettore $v$ (di norma $1$) associato a $r$ e calcolando $(Pv)^t Pv$). Poi scegli una (qualsiasi) base ortonormale $B$ di $RR^3$ che contenga $v$, diciamo ${v,u,w}$. Poi scrivi la matrice dell'operatore associato a $P$ in questa base, otterrai una cosa del tipo
$((pm 1,0,0),(0,a,b),(0,c,d))$
dove la sottomatrice $((a,b),(c,d))$ è ortogonale. Sei quindi ridotto al caso $2 xx 2$.
Per $n=3$ ti puoi ridurre al caso $n=2$ grazie a un cambio di base. Prima osservi che il polinomio caratteristico di $P$ ha grado $3$, quindi ammette una radice reale $r$. Poi dimostri che $r= pm 1$ (come? Scegliendo un autovettore $v$ (di norma $1$) associato a $r$ e calcolando $(Pv)^t Pv$). Poi scegli una (qualsiasi) base ortonormale $B$ di $RR^3$ che contenga $v$, diciamo ${v,u,w}$. Poi scrivi la matrice dell'operatore associato a $P$ in questa base, otterrai una cosa del tipo
$((pm 1,0,0),(0,a,b),(0,c,d))$
dove la sottomatrice $((a,b),(c,d))$ è ortogonale. Sei quindi ridotto al caso $2 xx 2$.
"LogicalCake":Sicur*?
[...] le matrici ortogonali di ordine due sono sempre diagonalizzabili. [...]
"j18eos":Sicur*?
[quote="LogicalCake"][...] le matrici ortogonali di ordine due sono sempre diagonalizzabili. [...]
[/quote]Sinceramente non ne ho idea, da quello che ho scritto vagamente mi pare di si… Potreste darmi qualche aiutino?
Se (ri)leggi bene: non tutte le matrici ortogonali di ordine \(\displaystyle2\) e determinante \(\displaystyle1\) sono diagonalizzabili (su \(\displaystyle\mathbb{R}\))!
"Martino":
Ciao, mi sembra che tu e andreadel1988 stiate preparando lo stesso esame, è così?
Ciao, sinceramente non ne ho idea, non sono ancora arrivato a quegli argomenti purtroppo... Sto preparando un esame di algebra lineare di ingegneria, non penso di essere il solo hahahaha.
"Martino":
Per $n=3$ ti puoi ridurre al caso $n=2$ grazie a un cambio di base. Prima osservi che il polinomio caratteristico di $P$ ha grado $3$, quindi ammette una radice reale $r$. Poi dimostri che $r= pm 1$ (come? Scegliendo un autovettore $v$ (di norma $1$) associato a $r$ e calcolando $(Pv)^t Pv$). Poi scegli una (qualsiasi) base ortonormale $B$ di $RR^3$ che contenga $v$, diciamo ${v,u,w}$. Poi scrivi la matrice dell'operatore associato a $P$ in questa base, otterrai una cosa del tipo
$((pm 1,0,0),(0,a,b),(0,c,d))$
dove la sottomatrice $((a,b),(c,d))$ è ortogonale. Sei quindi ridotto al caso $2 xx 2$
Quindi ricapitolando, data una rotazione in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) attorno ad un asse passante per l'origine, è possibile scegliere una base ortonormale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) tale che un vettore abbia la stessa direzione dell'asse di rotazione, quindi questo sarà ovviamente un autovettore di autovalore 1.
Quindi rispetto alla base ortonormale sopracitata la rotazione in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) è descritta da una mappa lineare con matrice associata del tipo:
\(\displaystyle M_{\theta}= \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix} \)
Che ad esempio rappresenta una rotazione attorno all'asse \(\displaystyle z \). Ciò che ho scritto continua a valere nel caso in cui il determinante valga 1, ma quando vale -1 che succede? Non ho capito questo passaggio...
Inoltre come facciamo ad affermare che la matrice ottenuta è diagonalizzabile?
Grazie tante ancora per l'aiuto, non so come farei altrimenti!
"j18eos":
Se (ri)leggi bene: non tutte le matrici ortogonali di ordine \(\displaystyle2\) e determinante \(\displaystyle1\) sono diagonalizzabili (su \(\displaystyle\mathbb{R}\))!
Questo l'ho capito dal precendente messaggio hahahaha. Potrestri aiutarmi a capire? Ti riferisci a tutti quei casi in cui \(\displaystyle \theta\neq k\pi \)? Non sto capendo...
"LogicalCake":Sì, esatto: in questi casi puoi avere autovalori reali?
[...] Ti riferisci a tutti quei casi in cui \(\displaystyle \theta\neq k\pi \)? Non sto capendo...
"j18eos":
Sì, esatto: in questi casi puoi avere autovalori reali?
Ok forse ora inizia a tornarmi meglio... Le uniche rotazioni diagonalizzabili in \(\displaystyle \mathbb{R} \) sono quelle di 180° e 360°, poiché per \(\displaystyle \theta = k\pi \), le matrici associate sono rispettivamente \(\displaystyle -I \) e \(\displaystyle I \), che sono già diagonali quindi ovviamente diagonalizzabili, è esatto?
Mentre in \(\displaystyle \mathbb{C} \) gli autovalori sono sempre due e distinti per cui la matrice e sempre diagonalizzabile.
Sembra essermi chiaro, ma ora vorrei chiedervi: voi come avreste affrontato questo tipo di esercizio? Questo è l'unico approccio che mi è venuto in mente, ma mi farebbe piacere come al solito capire diversi punti di vista!
C'era un modo più immediato di risolvere l'esercizio? Il fatto è che spesso mi sfugge l'interpretazione geometrica dei concetti che affronto...
Grazie tante ancora per l'aiuto!
"LogicalCake":
Quindi ricapitolando, data una rotazione [...]
In che senso "data una rotazione"? Quello che ti è dato non è una rotazione, è una matrice ortogonale.
"Martino":
[quote="LogicalCake"]Quindi ricapitolando, data una rotazione [...]
In che senso "data una rotazione"? Quello che ti è dato non è una rotazione, è una matrice ortogonale.[/quote]
Hai ragione, scusami, ho frainteso io, grazie comunque dell'aiuto
"LogicalCake":Sia \(\displaystyle H\in\mathscr{O}(2,\mathbb{R})\) una matrice ortogonale, banalmente:
[...] ma ora vorrei chiedervi: voi come avreste affrontato questo tipo di esercizio? Questo è l'unico approccio che mi è venuto in mente, ma mi farebbe piacere come al solito capire diversi punti di vista! [...]
\[
H\times(1,0)^T=(a,b)^T
\]
con \(a^2+b^2=1\), per le ipotesi su \(H\) dev'essere ancóra:
\[
H\times(0,1)^T=\pm(-b,a)^T
\]
quindi deve esistere \(\displaystyle\theta\in[0,2\pi[\) tale che \(\begin{cases}
a=\cos\theta\\
b=\sin\theta
\end{cases}\) oppure \(\begin{cases}
a=\sin\theta\\
b=\cos\theta
\end{cases}\) arrivando così a determinare \(H\) in tutta generalità.
Poi procederei come hai fatto te!
Invece, per le matrici ortogonali di ordine \(3\) avrei ragionato come Martino!
P.S.: considera l'endomorfismo lineare \(f\) di \(\mathbb{R}^2\) che, rispetto alla base canonica, è così definito:
\[
f\left(\underline{e}_1\right)=\underline{e}_2,\,f\left(\underline{e}_2\right)=-\underline{e}_1;
\]
intuitivamente: ti sembra una rotazione?
Capito, per quanto riguarda la tua domanda direi che intuitivamente mi sembra una rotazione antioraria di 90° è esatto?
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \) ma questa non è una matrice antisimmetrica?
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \) ma questa non è una matrice antisimmetrica?
Sì, tutto corretto;
sono io che ho sbagliato esempio:
\[ f\left(\underline{e}_1\right)=\underline{e}_2,\,f\left(\underline{e}_2\right)=\underline{e}_1;
\]
con \(f\) endomorfismo lineare di \(\mathbb{R}^2\); intuitivamente: ti sembra una rotazione?
sono io che ho sbagliato esempio:
\[ f\left(\underline{e}_1\right)=\underline{e}_2,\,f\left(\underline{e}_2\right)=\underline{e}_1;
\]
con \(f\) endomorfismo lineare di \(\mathbb{R}^2\); intuitivamente: ti sembra una rotazione?
"j18eos":
Sì, tutto corretto;
sono io che ho sbagliato esempio:
\[ f\left(\underline{e}_1\right)=\underline{e}_2,\,f\left(\underline{e}_2\right)=\underline{e}_1;
\]
con \(f\) endomorfismo lineare di \(\mathbb{R}^2\); intuitivamente: ti sembra una rotazione?
In questo caso non mi sembra una rotazione, questa trasformazione va a scambiare gli assi giusto? Cosa vuoi farmi capire con questo esempio?
"LogicalCake":Sì,giusto!
[...] In questo caso non mi sembra una rotazione, questa trasformazione va a scambiare gli assi giusto? [...]
"LogicalCake":...che non tutte le matrici ortogonali (sul campo dei numeri reali) di ordine \(2\) sono interpretabili come rotazioni nel piano affine euclideo!
[...] Cosa vuoi farmi capire con questo esempio?
"j18eos":
[…] che non tutte le matrici ortogonali (sul campo dei numeri reali) di ordine \(2\) sono interpretabili come rotazioni nel piano affine euclideo!
Chiaro, quelle interpretabili come rotazioni sono soltanto quelle aventi determinante pari ad \(\displaystyle 1 \) è esatto? Mentre le altre? Da qualche esempio, mi sembra di capire, che oltre ad effettuare una certa rotazione, riflettano anche rispetto a qualche asse/piano di simmetria ma non ne sono sicuro, magari sto dicendone una delle mie… Dove posso trovare del materiale in merito? Non sono riuscito a trovare granché online. Grazie come al solito del vostro aiuto!
Le matrici ortogonali speciali (di ordine \(2\)) rappresentano sì delle rotazioni; mentre le altre (di ordine \(2\)) rappresentano delle riflessioni rispetto a una retta (passante per l'origine di un sistema di riferimento affine ortonormale nel piano euclideo): riesci a capire il perché?
...e se ti accontenti della mia tesi di laurea triennale: potresti magari leggere da lì gli ultimi due capìtoli su queste "cosuccie"!
...e se ti accontenti della mia tesi di laurea triennale: potresti magari leggere da lì gli ultimi due capìtoli su queste "cosuccie"!
"j18eos":
...e se ti accontenti della mia tesi di laurea triennale: potresti magari leggere da lì gli ultimi due capìtoli su queste "cosuccie"!
Ciao, dove posso trovarla? Mi farebbe piacere leggere qualcosa in merito!
Per quanto riguarda l'altra domanda non lo so, non riesco a capire quale sia il motivo, ho notato solo che le colonne risultano scambiate...
"LogicalCake":Tra le note lunghe del mio sito web personale (l'ho caricata oggi).
[...] dove posso trovarla? [...]
"LogicalCake":Una simmetria assiale cosa fissa?
[...]Per quanto riguarda l'altra domanda non lo so, non riesco a capire quale sia il motivo [...]
"j18eos":
Tra le note lunghe del mio sito web personale (l'ho caricata oggi).
Ho provato a recuperare informazioni online ma non ho trovato il tuo sito personale... Potresti linkarmelo? Grazie ancora
"j18eos":
[...] Una simmetria assiale cosa fissa?
Mi verrebbe da dire un asse di simmetria, ma non mi sembra la risposta sperata... Dovrebbe fissare una retta che resta invariante per la trasformazione definita dalla matrice ortogonale considerata giusto? Geometricamente questa mi sembra la definizione di autovettore... L'asse è quindi dato dall'autospazio generato dagli autovettori di autovalore 1?
Non riesco ancora a capire però... Un altro aiutino? hahahah
Grazie davvero dell'aiuto
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