Diagonalizzazione di matrici

[Zerogwalur]

Quando la matrice A è diagonalizzabile (a c R)?

( a ; 3 ; 0 )
A:( a^2 ; 3a ; 0 )
( 1-2a ; -1 ; a-1)

[cntrone]

"Zerogwalur":Quando la matrice A è diagonalizzabile (a c R)?

( a ; 3 ; 0 )
A:( a^2 ; 3a ; 0 )
( 1-2a ; -1 ; a-1)

quando gli autovalori soluzioni dell'equazione caratteristica appartengono al campo, in questo caso ad $RR$, e quando per ognuno si ha che molteplicità algebrica e geometrica si eguagliano

[Zerogwalur]

Grazie ma volevo una risposta un po' più specifica riguardo all'esercizio, magari con lo svolgimento se qualcuno ne ha voglia..
Grazie cmq!

EDIT: ho fatto det(A-tI) e mi torna --> -t^3 + (5a-1)t^2 + (4a-4a^2)t = 0
che ha per radici t=0 ; t=4a+1 ; t=a, a meno di errori di calcolo.

E ora?? Come posso descrivere la diagonalizzabilità di A rispetto al parametro a?

[alle.fabbri]

Se non ricordo male è sufficiente calcolare il polinomio caratteristico, che dovrebbe essere
$(a-1-\lambda)[- \lambda^2 - 4 a \lambda]$
in questo caso le radici sono facili da calcolare. Mi pare che tu possa dire che se gli autovalori sono distinti allora sicuramente la matrice è diagonalizzabile perchè i tre autospazi sono ortogonali e hanno dimensione 1. Devi solo verificare quello che ha detto cntrone, cioè che se due autovalori coincidono, devono generare un sottospazio di dimensione due. Siccome gli autovalori dipendono da a puoi studiare quando sono uguali, e come varia l'autospazio associato a quei valori per determinarne la dimensione. E' più chiaro così?