Diagonalizzazione di matrici
Siano A,B matrici quadrate nxn a coefficienti in R. Si suppone A e B diagonalizzabili, è A+B diagonalizzabile?
Chi riesce a risolverlo avrà la mia eterna gratitudine!!
Chi riesce a risolverlo avrà la mia eterna gratitudine!!
Risposte
intuitivamente mi viene da dire che se A è diagonalizzabile e B sono diagonalizzabili vuol dire che puoi diagonalizzarle e poi sommarle e ottieni una matrice a sua volta diagonale...ma non so se questo significhi che la somma è diagonalizzabile..
attendiamo qualcuno di più esperto
attendiamo qualcuno di più esperto
Secondo me non è così automatico. Per diagonalizzare una matrice si fissa trova una base di autovettori. Non è detto che la base che usiamo per A sia la stessa di B, quindi secondo me non si può fare il discorso della somma delle 2 matrici diagonalizzate..Però al momento non mi vengono idee buone per risolvere la cosa..
Paola
Paola
In effeti non si chiede se A+B è diagonale ma se è diagonalizzabile..quindi non la troviamo in forma diagonale...
$A=((1,0),(0,1))$
$B=((0,1),(1,0))$
$B=((0,1),(1,0))$
Mi viene in mente come dimostrare un caso particolare.. Esiste un teorema che ci dice che se A è una matrice simmetrica reale allora è diagonalizzabile.
se sia A che B sono simmetriche allora lo sarà anche la loro somma A+B=C, e di conseguenza C sarà diagonalizzabile.
se sia A che B sono simmetriche allora lo sarà anche la loro somma A+B=C, e di conseguenza C sarà diagonalizzabile.
"Cheguevilla":
$A=((1,0),(0,1))$
$B=((0,1),(1,0))$
Se volevi fornire un controesempio, Silvio, B non è diagonale
perché sulla diagonale principale ci sono solo 0, mentre gli
elementi non nulli sono sull'altra diagonale.
Per essere diagonale, una matrice quadrata deve avere
tutti gli elementi sulla diagonale principale non nulli,
ed il resto tutti nulli.
Il testo parla di A e B diagonalizzabili.
Se vogliamo vederla così:
$A=((1,0),(0,1))$
$B=((1,2),(2,1))$
Se vogliamo vederla così:
$A=((1,0),(0,1))$
$B=((1,2),(2,1))$
Esiste un teorema che ci dice che se A è una matrice simmetrica reale allora è diagonalizzabile.
Controesempio:
$A=((x,x),(x,x))$
Il teorema è vero e si chiama Teorema spettrale
(infatti lo spettro è l'insieme degli autovalori della matrice).
(infatti lo spettro è l'insieme degli autovalori della matrice).
Se una matrice è reale simmetrica allora è diagonalizzabile, e gli autovettori formano una base ortogonale, quindi volendo anche ortonormale, di $\mathbb{R}^n$, dove $n$ è l'ordine della matrice.
EDIT: grazie a Chicco_Stat_
EDIT: grazie a Chicco_Stat_
"Tipper":
Se una matrice è reale simmetrica allora è diagonalizzabile, e gli autovalori formano una base ortogonale, quindi volendo anche ortonormale, di $\mathbb{R}^n$, dove $n$ è l'ordine della matrice.
autovalori o autovettori?
Ehm, autovettori, grazie per la segnalazione, edito
chegue mi sà che hai dimenticato la definizione di matrice diagonalizzabile ...
il teorema di chicco_stat si chiama teorema spettrale ed è un risultato della geometria di centrale importanza nell'ambito fisico, con applicazioni in meccanica elettromagnetismo e (credo) non solo...
cmq un contro-esempio può essere questo:
$A=((1,-3),(-3,1))$
$B=((0,4),(2,0))$
$A+B=((1,1),(-1,1))$
A è B sono diagonalizzabili (A è simmetrica, B possiede due autovalori di molteplicità algebrica 1), mentre $A+B$ non lo è (non possiede nemmeno autovalori reali)...
...il teorema di chicco_stat si chiama teorema spettrale ed è un risultato della geometria di centrale importanza nell'ambito fisico, con applicazioni in meccanica elettromagnetismo e (credo) non solo...
cmq un contro-esempio può essere questo:
$A=((1,-3),(-3,1))$
$B=((0,4),(2,0))$
$A+B=((1,1),(-1,1))$
A è B sono diagonalizzabili (A è simmetrica, B possiede due autovalori di molteplicità algebrica 1), mentre $A+B$ non lo è (non possiede nemmeno autovalori reali)...
finora siamo riusciti solo a dire che non è sempre verificato e che può essere possibile..
uno sforzicino in più?
io purtroppo sono alle prese con i tensori fondamentali e devo dimostrare un teoremino da mettere nella tesi ora di domani, quindo non posso prestare troppa attenzione..susu!
uno sforzicino in più?
io purtroppo sono alle prese con i tensori fondamentali e devo dimostrare un teoremino da mettere nella tesi ora di domani, quindo non posso prestare troppa attenzione..susu!
oooops... scusate se ho ripetuto cose già dette
"Chicco_Stat_":
finora siamo riusciti solo a dire che non è sempre verificato e che può essere possibile..
uno sforzicino in più?
cioè? vuoi una caratterizzazione completa delle coppie di matrici A e B per cui vale la formula? magari non tautologica?
si intendevo proprio questo, ritengo che l'esercizio richieda a quali condizioni debbano sottostare A e B diagonalizzabili affinché A+B lo sia a sua volta..
non facciamo come con fermat però, 350 anni passati a dimostrare caso per caso..hihi
scherzo ovviamente..a voi la palla, sono molto interessato!
non facciamo come con fermat però, 350 anni passati a dimostrare caso per caso..hihi
scherzo ovviamente..a voi la palla, sono molto interessato!
la tua domanda non credo sia banale... almeno non mi pare sia facile trovare condizioni necessarie e sufficienti che non siano troppo ovvie... cmq di certo non sarò mai un geometra ...
...
eheh, appena ho un attimo di tempo ci provo..per ora la mia attenzione è rivolta totalmente all'argomento dell'altro topic (Seconda Forma Fondamentale)
p.s. può considerarsi spam questo? hihi
p.s. può considerarsi spam questo? hihi
Forse si potrebbe risolvere ragionando sui polinomi caratteristici delle due matrici A, B...A priori non è detto che il polinomio caratteristico di A+B abbia radici nel campo R anche se quello di A e quello di B le ha..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo