Diagonalizzazione applicazione lineare

[Tappino1]

Ciao a tutti! Sono nuovo del forum, quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori. 

Facendo esercizi mi sono trovato davanti il seguente problema:


"Sia  \[ T:\mathcal{V}\longrightarrow \mathcal{V} : \underline{v}\longmapsto (\underline{v} * \underline{t}) * \underline {t} \]

un' applicazione endomorfa.

Determinare autovalori e autovettori di T e dire se T é diagonalizzabile."


Ora, se avessi un'applicazione lineare dalla quale posso ricavare la matrice associata, potrei calcolare subito il polinomio caratteristico, determinare gli autovalori e vedere se T é diagonalizzabile. Ma in questo caso come devo muovermi? C'é un modo per ricavare la matrice associata, oppure devo ragionare diversamente?

[Sk_Anonymous]

Se $(v*t)$ è un prodotto scalare e se $t$ è un versore, cioè un vettore di norma unitaria, quell'endomorfismo ha tutta l'aria di essere un proiettore.

[Tappino1]

É un prodotto scalare, ma, per quanto riguarda il vettore t, non c'é scritto se é un versore o meno.... Cosa sarebbe un proiettore?

[Sk_Anonymous]

In generale, assegnato un versore $[t]$, puoi determinare una base ortonormale comprendente il versore di partenza. Allora, mediante un proiettore, un generico vettore appartenente al sottospazio vettoriale generato da $[t]$ viene mandato in se stesso, mentre un generico vettore appartenente al complemento ortogonale del sottospazio vettoriale generato da $[t]$ viene mandato nel vettore nullo. Non è difficile dimostrarlo. In pratica, quel proiettore ha un autovalore $[lambda=1]$ di molteplicità algebrica e geometrica uguale a $[1]$, e un autovalore $[lambda=0]$ di molteplicità algebrica e geometrica uguale a $[n-1]$. Per questo motivo i proiettori sono sempre diagonalizzabili. Per fare un esempio concreto, se il versore è diretto lungo l'asse z, è chiaro che un generico vettore diretto lungo lo stesso asse viene mandato in se stesso, mentre un generico vettore appartenenete al piano xy viene mandato nel vettore nullo. Un proiettore per l'appunto.

[Tappino1]

No, scusa, forse sono un po' duro, peró ci sono alcune cose che non capisco:

1) come puó essere che il vettore " v " viene mandato in sé stesso, se la sua immagine corrisponde a (v*t)*t?

2) che caratteristiche ha un vettore che appartienecal complemento ortogonale del sottospazio generato da t?

3) potresti postarmi i calcoli che hai fatto nel determinare le molteplicitàca algebriche e geometriche?

[Sk_Anonymous]

Ho aggiunto un paio di righe al mio ultimo messaggio. Immagina di proiettare un vettore tridimensionale lungo l'asse z. La proiezione di un generico vettore diretto lungo lo stesso asse z è il vettore medesimo, la proiezione di un generico vettore appartenente al piano xy è nulla. Per formalizzare in uno spazio vettoriale generico, dovresti avere un po' di confidenza con questi concetti. Non è questione di essere duri.

[Tappino1]

Ok.. Piú o meno credo di aver intuito, peró il ragionamento che hai fatto per questo esercizio, lo posso applicare anche ad altri esercizi analoghi? Mi spiego meglio, se l'immagine del vettore di partenza é data da prodotti scalari e/o vettoriali oppure dalla somma con un altro vettore non noto, come faccio a dire se l'applicazione é diagonalizzabile?

[Sk_Anonymous]

"Tappino":
...se l'immagine del vettore di partenza é data da prodotti scalari e/o vettoriali...

I proiettori si introducono considerando il prodotto scalare. Non sono al corrente di una teoria generale che prenda in considerazione il prodotto vettoriale. In ogni modo, puoi sempre proporre un esempio.

"Tappino":
...oppure dalla somma con un altro vettore non noto...

In questo caso non si tratterebbe di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali.

[Tappino1]

"speculor":
Non sono al corrente di una teoria generale che prenda in considerazione il prodotto vettoriale. In ogni modo, puoi sempre proporre un esempio.

Esempi non me ne vengono in mente... Era solo una supposizione...
Comunque, sono incappato in un altro dubbio, sempre riguardante la diagonalizzazione.

" Dire quali sono gli autovettori della matrice
1 0 2 1
0 3 4 2
A = 2 4 2 3
1 2 3 1
Trovare una base ortonormale, fatta di autovettori di A."


Svolgendo i calcoli per determinare il polinomio caratteristico, ad un certo punto giungo ad avere:

(1-x)[(3-x)(x^2 - 3x -7)+(16x+8)+(16-4x)]+2(x-3)(-1-2x)-(3-x)(x-4)=0


Ma adesso, devo effetturare le moltiplicazioni, oppure, dato che il mio polinomio non é fattorizzato, dico che l'applicazione non é diagonalizzabile?

[_prime_number]

Devi farti tutti i conti e poi, se possibile, cercare di fattorizzarlo tu.

Paola