Diagonalizzazione
Sia l'endomorfismo di R^3
1)Si studi la diagonalizzabilità di f al variare di h in R
$((1,0,1),(h,h,0),(1,0,h))
Si studi la diagonalizzabilità di f al variare di h
$((1-t,0,1),(h,h-t,0),(1,0,h-t))$ = $ (1-t) (h-t)^2 - (h - t) $
mi trovo gli autovalori
$t=h$
$t=\frac{h+1} {2} + \frac {sqrt{h^2-2\h+5}}{2}
$t=\frac{h+1} {2} - \frac {sqrt{h^2-2\h+5}}{2}
Adesso con questi autovalori così complessi come faccio a trovarmi le molteplicità algebriche? e come faccio a capire quando ci sono autovalori coincidenti?
1)Si studi la diagonalizzabilità di f al variare di h in R
$((1,0,1),(h,h,0),(1,0,h))
Si studi la diagonalizzabilità di f al variare di h
$((1-t,0,1),(h,h-t,0),(1,0,h-t))$ = $ (1-t) (h-t)^2 - (h - t) $
mi trovo gli autovalori
$t=h$
$t=\frac{h+1} {2} + \frac {sqrt{h^2-2\h+5}}{2}
$t=\frac{h+1} {2} - \frac {sqrt{h^2-2\h+5}}{2}
Adesso con questi autovalori così complessi come faccio a trovarmi le molteplicità algebriche? e come faccio a capire quando ci sono autovalori coincidenti?
Risposte
Cara Gyulia85,
benevenuta nel forum e buona permanenza.
Per rendere più leggibile il post usa le regole per la scrittura delle formule, che trovi qui.
Inoltre, concordemente col nostro regolamento, ti chiedo di cambiare il titolo del tuo topic con un più attinente col contenuto del topic stesso: puoi compiere questa opreazione cliccando sul tasto modifica nel tuo post.
Grazie.
benevenuta nel forum e buona permanenza.
Per rendere più leggibile il post usa le regole per la scrittura delle formule, che trovi qui.
Inoltre, concordemente col nostro regolamento, ti chiedo di cambiare il titolo del tuo topic con un più attinente col contenuto del topic stesso: puoi compiere questa opreazione cliccando sul tasto modifica nel tuo post.
Grazie.
[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
h & h & 0 \\
1 & 0 & h
\end{array} \right)[/tex]
gli autovalori sono
[tex]\lambda_1 = h[/tex]
[tex]\lambda_2 = \dfrac{h + 1}{2} + \dfrac{\sqrt{h^2 - 2\,h + 5}}{2}[/tex]
[tex]\lambda_3 = \dfrac{h + 1}{2} - \dfrac{\sqrt{h^2 - 2\,h + 5}}{2}[/tex]
ora si vede guardare quando ci sono autovalori coincidenti.
1 & 0 & 1 \\
h & h & 0 \\
1 & 0 & h
\end{array} \right)[/tex]
gli autovalori sono
[tex]\lambda_1 = h[/tex]
[tex]\lambda_2 = \dfrac{h + 1}{2} + \dfrac{\sqrt{h^2 - 2\,h + 5}}{2}[/tex]
[tex]\lambda_3 = \dfrac{h + 1}{2} - \dfrac{\sqrt{h^2 - 2\,h + 5}}{2}[/tex]
ora si vede guardare quando ci sono autovalori coincidenti.
Hai ragione ho sbagliato. Adesso con questi autovalori così complessi come faccio a trovarmi le molteplicità algebriche? e come faccio a capire quando ci sono autovalori coincidenti?
Risolvi le equazioni
[tex]\lambda_1 = \lambda_2[/tex]
[tex]\lambda_1 = \lambda_3[/tex]
[tex]\lambda_2 = \lambda_3[/tex]
[tex]\lambda_1 = \lambda_2[/tex]
[tex]\lambda_1 = \lambda_3[/tex]
[tex]\lambda_2 = \lambda_3[/tex]
Mi trovo gli autospazi relativi a $lambda_1=h$
la metto a posto nella diagonale del polinomio caretteristico:
$((1-h,0,1),(h,0,0),(1,0,0))$
da qui metto a sistema del tipo:
$(1-h)*x_1+x_3=0$
$h*x_1=0$
$x_1=0$
deduco che $h=0$ e $x_3=-x_1$ e $x_2=0$
significa che un autospazio è del tipo $L(1,0,-1)$ quindi si trova che la molteplicità geometrica è $1$ e si trova con $m.a=1$
ora lo stesso si dovrebbe fare sia con $lambda_2$ che $lambda_3$.
(spero di non aver scritto cavolate)
la metto a posto nella diagonale del polinomio caretteristico:
$((1-h,0,1),(h,0,0),(1,0,0))$
da qui metto a sistema del tipo:
$(1-h)*x_1+x_3=0$
$h*x_1=0$
$x_1=0$
deduco che $h=0$ e $x_3=-x_1$ e $x_2=0$
significa che un autospazio è del tipo $L(1,0,-1)$ quindi si trova che la molteplicità geometrica è $1$ e si trova con $m.a=1$
ora lo stesso si dovrebbe fare sia con $lambda_2$ che $lambda_3$.
(spero di non aver scritto cavolate)
Allora io risolvo $lambda_2$ elevando tutto al quadrato per eliminare la radice al numeratore
$lambda_2=h^2+1+2h+h^2-2h+5$ segue $2h^2+6$
$lambda_3=h^2+1+2h-h^2+2h-5$ segue $h-1$
per $h=0$ $lambda_1=6$ $lambda_2=-1$
La somma delle molteplicità algebriche ci deve dare tutto $R^3$
va bene fin quì?
$lambda_2=h^2+1+2h+h^2-2h+5$ segue $2h^2+6$
$lambda_3=h^2+1+2h-h^2+2h-5$ segue $h-1$
per $h=0$ $lambda_1=6$ $lambda_2=-1$
La somma delle molteplicità algebriche ci deve dare tutto $R^3$
va bene fin quì?
"clever":
[tex]$(1-h)*x_1+x_3=0$[/tex]
[tex]$h*x_1=0$[/tex]
[tex]$x_1=0$[/tex]
deduco che $h=0$ e $x_3=-x_1$ e $x_2=0$
Dunque, il sistema in realtà fornisce:
[tex]$x_1=0$[/tex]
Sostituendo nella seconda non ottengo nulla ([tex]$0=0$[/tex]).
Sostituendo nella prima ottengo
[tex]$(1-h)\cdot0+x_3=0$[/tex] cioè
[tex]$x_3=0$[/tex]
Su [tex]$x_2$[/tex] non abbiamo informazioni, quindi resta generico, e quindi tutti i vettori [tex]$(0,x_2,0)$[/tex] soddisfano il sistema cioè l'autospazio è generato da [tex]$(0,1,0)$[/tex].
Gyulia: purtroppo il tuo procedimento non va bene.
In realtà non capisco dove vuoi arrivare: hai l'espressione di [tex]$\lambda_2$[/tex],
[tex]\lambda_2 = \dfrac{h + 1}{2} + \dfrac{\sqrt{h^2 - 2\,h + 5}}{2}[/tex]
ed elevi al quadrato il secondo membro (dimenticando il 4 a denominatore) e scordando anche il doppio prodotto, cioè
[tex]$2\cdot(h+1)\cdot\sqrt{h^2-2h+5}$[/tex]
Tolto questo, il consiglio di franced andava in questa direzione: c'è un caso particolarmente semplice in cui la matrice è diagonalizzabile: quando gli autovalori sono distinti.
Quindi si dice: mi riduco ai casi in cui NON sono distinti, quindi vedendo quando due sono uguali (ecco la logica di porre [tex]$\lambda_1=\lmbda_2$[/tex] etc..), trovi i valori di $h$ (saranno al massimo 3 valori, in questo caso anche meno mi pare).
Tolti questi casi, sto a posto, perché per l'altra infinità di valori di $h$ l'endomorfismo ammette autovalori distinti.
Spero di essermi fatto capire (altrimenti chiedete).
Buona giornata!
Allora devo porre
$lambda_1=lambda_2$
$h = \frac{h+1}{2}+\frac{\sqrt{h^2-2\h+5}}{2}$
dopodiche elevo primo e secondo membro al quadrato. Per togliere il denominatore moltiplico prima e secondo membro per 4.
quindi avrò
$-2h^2-6$ quindi metto $h=0$ $lambda_2= -6 $ ?????? è così?
$lambda_1=lambda_2$
$h = \frac{h+1}{2}+\frac{\sqrt{h^2-2\h+5}}{2}$
dopodiche elevo primo e secondo membro al quadrato. Per togliere il denominatore moltiplico prima e secondo membro per 4.
quindi avrò
$-2h^2-6$ quindi metto $h=0$ $lambda_2= -6 $ ?????? è così?
[mod="Steven"]AliceLuna, non è originale come idea quella di ri-iscriversi con un altro utente dopo un allontanamento temporaneo.
A non rivederci.[/mod]
A non rivederci.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]I moderatori di questo forum (che sentitamente ringrazio) hanno molte cose più utili da fare che stare dietro ad utenti dal comportamento infantile. Parafrasando Wikipedia, questo non è l'asilo Mariuccia.
Pertanto le utenze Gyulia85 e AliceLuna sono bannate definitivamente dal forum.[/mod]
Pertanto le utenze Gyulia85 e AliceLuna sono bannate definitivamente dal forum.[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo