Diagonalizzare una matrice hermitiana

[cristinagallo1]

Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questo esercizio.

Data la matrice Hermitiana,

\( \begin{pmatrix} 1 & j^2 & j \\ j & 1 & j^2 \\ j^2 & j & 1 \end{pmatrix} \)

con \( j = (-1/2) + i(\sqrt3/2) \)

calcolare autovalori, autovettori, la matrice diagonalizzante ed una base ortonormale.

Ho calcolato gli autovalori che sono: $\lambda=0$ e $\lambda=3$, dopo di che ho calcolato i relativi autospazi: $<(-j^2,1,0),(-j,0,1)>$ e $<(j,j^2,1)>$ ma mi sembra che non siano ortogonali. ci sarà qualche errore di calcolo? Inoltre non riesco ad ortogonalizzare $(-j^2,1,0),(-j,0,1)$, normalmente utilizzo il metodo di gram-schmidt!

[j18eos]

"cristinagallo":...ma mi sembra che non siano ortogonali. ci sarà qualche errore di calcolo? ...

Non sono ortogonali secondo il prodotto scalare standard, e non c'è alcun errore di calcolo!

[cristinagallo1]

Grazie mille! E si possono ortogonalizzare? Per avere la matrice diagonallizzante basta mettere i tre vettori che ho appena calcolato in colonna, giusto? Grazie ancora...

[j18eos]

"cristinagallo":Grazie mille! E si possono ortogonalizzare?...

Prego, di nulla!, ma continuo a ripetere che devo ragionare col prodotto scalare giusto: sei in \(\displaystyle\mathbb{C}^3\) e non in \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) o \(\displaystyle\mathbb{R}^6\)...

[cristinagallo1]

Aaaaaah vero!!!! Adesso ho capito, graaazie