Diagonalizzare una matrice
Salve a tutti,
ho dei dubbi su un esercizio, più specificamente sui passaggi, non so se sono giusti o sbagliati. Dato che non ci sono i risultati non posso confrontare il mio con quello giusto. L'argomento è nuovo quindi troppi dubbi mi assalgono. Nonostante questo ho cercato di risolvere il problema comunque, spero mi aiuterete a capire dove ho sbagliato perchè credo che abbia sbagliato da qualche parte!
Grazie anticipatamente per l'aiuto
Diagonalizzare, se possibile, la matrice A
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))$ appartenente a $R^3$
Ho calcolato gli autovalori calcolando il $det(A-($\lambda$*I)=0
due soluzioni:
$\lambda1$=1 ------> moteplicita algebr. =1
$\lambda2$=0 ------>molteplicità algebr.= 2
calcolo gli autospazi:
V($\lambda1$)={(x,y,z)| (A-I)* $((x),(y),(z))$ =0}$
equazioni: z=0
2x+y=0
pongo x=t -----> y=-t
soluzione= (t, -t, 0)
una Base di V($\lambda1$) è (1, -1, 0)
dimV($\lambda1$)=1 ??
Lo stesso ragionamento per l'altro sottospazio:
equazioni:
x-y=0
y+z=0
2x+y-z=0
dimV($\lambda2$)= 2 ??
pongo z=t -------> x=t , y=-t
soluzioni: (t,-t,t)
una base (1,-1,1)
matrice diagonale D:
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
matrice diagonalizzante P:
$((1,1),(-1,-1),(0,1))$
Perche quest'ultima matrice è 2x3??
cosa ho sbagliato?
grazie a tutti per l'immane aiuto
ho dei dubbi su un esercizio, più specificamente sui passaggi, non so se sono giusti o sbagliati. Dato che non ci sono i risultati non posso confrontare il mio con quello giusto. L'argomento è nuovo quindi troppi dubbi mi assalgono. Nonostante questo ho cercato di risolvere il problema comunque, spero mi aiuterete a capire dove ho sbagliato perchè credo che abbia sbagliato da qualche parte!
Grazie anticipatamente per l'aiuto
Diagonalizzare, se possibile, la matrice A
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))$ appartenente a $R^3$
Ho calcolato gli autovalori calcolando il $det(A-($\lambda$*I)=0
due soluzioni:
$\lambda1$=1 ------> moteplicita algebr. =1
$\lambda2$=0 ------>molteplicità algebr.= 2
calcolo gli autospazi:
V($\lambda1$)={(x,y,z)| (A-I)* $((x),(y),(z))$ =0}$
equazioni: z=0
2x+y=0
pongo x=t -----> y=-t
soluzione= (t, -t, 0)
una Base di V($\lambda1$) è (1, -1, 0)
dimV($\lambda1$)=1 ??
Lo stesso ragionamento per l'altro sottospazio:
equazioni:
x-y=0
y+z=0
2x+y-z=0
dimV($\lambda2$)= 2 ??
pongo z=t -------> x=t , y=-t
soluzioni: (t,-t,t)
una base (1,-1,1)
matrice diagonale D:
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
matrice diagonalizzante P:
$((1,1),(-1,-1),(0,1))$
Perche quest'ultima matrice è 2x3??
cosa ho sbagliato?
grazie a tutti per l'immane aiuto
Risposte
ciao ho guardato il tuo esercizio.. io li sistemi li svolgo con un altro metodo ma mi è saltato all'occhio quando dici
"pongo x=t......ecc" devi aver fatto un errore di calcolo perchè se poni x=t -> y=-2t che in ogni caso non so se va bene perchè a me viene diverso.
Se ti può essere utile a me gli autospazi vengono
$V_\lambda1=<((1),(2),(0))>$
$V_\lambda2=<((1),(-1),(1))>$ questo mi viene uguale al tuo
Quindi essendo
[tex]molteplicità(\lambda_2)=2[/tex]
$dim(V_\lambda_2)=1
io direi che la matrice non è diagonabilizzabile perchè è impossibile trovare una base di R^3 fatta di autovettori di A.
"pongo x=t......ecc" devi aver fatto un errore di calcolo perchè se poni x=t -> y=-2t che in ogni caso non so se va bene perchè a me viene diverso.
Se ti può essere utile a me gli autospazi vengono
$V_\lambda1=<((1),(2),(0))>$
$V_\lambda2=<((1),(-1),(1))>$ questo mi viene uguale al tuo
Quindi essendo
[tex]molteplicità(\lambda_2)=2[/tex]
$dim(V_\lambda_2)=1
io direi che la matrice non è diagonabilizzabile perchè è impossibile trovare una base di R^3 fatta di autovettori di A.
"FiorediLoto":
Diagonalizzare, se possibile, la matrice A
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))$
Il polinomio caratteristico è
[tex]p(\lambda) = -\lambda^3 + \lambda^2[/tex]
gli autovalori sono
[tex]\lambda_1 = 0 \;\; \mbox{(molt. alg. = 2)} \;\; ; \;\; \lambda_2 = 1 \;\; \mbox{(molt. alg. = 1)}[/tex]
l'autovalore [tex]\lambda_2 = 1[/tex] non pone problemi in quanto la sua molteplicità algebrica è 1;
per quanto riguarda l'autovalore [tex]\lambda_1 = 0[/tex] si vede subito che l'autospazio relativo
ha dimensione 1 in quanto il rango della matrice A è 2.
Dal momento che risulta molteplicità geometrica < molteplicità algebrica
l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
ok grazie a tutti, mi avete aiutato!
quindi per il resto l'esercizio risulta essere fatto bene?
grazie ancora
quindi per il resto l'esercizio risulta essere fatto bene?
grazie ancora
mi togli una curiosità? come le trovi le equazioni quando dici z=0 2x+y=0? io uso un altro metodo ma anche seguendo il tuo modo di fare non riesco a capire quel z=0 da dove esce fuori. (Comunque non ti sto dicendo che è necessariamente sbagliato)
Il polinomio caratteristico è
gli autovalori sono
l'autovalore non pone problemi in quanto la sua molteplicità algebrica è 1;
per quanto riguarda l'autovalore si vede subito che l'autospazio relativo
ha dimensione 1 in quanto il rango della matrice A è 2.
Dal momento che risulta molteplicità geometrica < molteplicità algebrica
l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
mi trovo anche io cosi.
comunque gli autovettori mi trovo questi due: $ V(1)= L(1,0,1) e V(2)=L(1,-1,1) $ sono giusti? 
"Mire_90":
mi togli una curiosità? come le trovi le equazioni quando dici z=0 2x+y=0? io uso un altro metodo ma anche seguendo il tuo modo di fare non riesco a capire quel z=0 da dove esce fuori. (Comunque non ti sto dicendo che è necessariamente sbagliato)
dato che la matrice ha determinante 0 ho cercato un minore di ordine 2 non nullo, in questo caso dato da
0 1
1 -2
quindi elimino le equazioni che non fanno parte di questo minore e pongo le incognite al di fuori uguali a dei parametri, in questo caso
x=t
quindi dalla prima equazione mi esce
z=0
e dalla seconda
y-2z=t
ho ragionato cosi, è sbagliato?
se ho sbagliato naturalmente faccio un passo indietro e vorrei tanto capire il procedimento giusto!
il ragionamento non fa una piega 
se non per il fatto che sostituendo x=t nella seconda equazione ottieni
y-2z=-2t
e non y-2z=t
spero che ti torni. Infatti così facendo ti viene come a me
$V(\lambda1)=<((1),(-2),(0))>$
(mi scuso perchè nel primo messaggio di risposta mi era sfuggito un meno davanti al due)
se non per il fatto che sostituendo x=t nella seconda equazione ottieniy-2z=-2t
e non y-2z=t
spero che ti torni. Infatti così facendo ti viene come a me
$V(\lambda1)=<((1),(-2),(0))>$
(mi scuso perchè nel primo messaggio di risposta mi era sfuggito un meno davanti al due)
il primo autovettore di Mariacristina è sbagliato perchè infatti svolgendo la moltiplicazione
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))$
dovrei ottenere
$\lambda1((1),(0),(1))=1*((1),(0),(1))=((1),(0),(1))$
e invece basta svolgere la moltiplicazione per vedere che non è così infatti
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))=((1-1),(1),(2-1))=((0),(1),(1))$
il secondo va bene
Comunque il metodo che usate è giusto... è praticamente quello che uso io ma in una forma leggermente diversa
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))$
dovrei ottenere
$\lambda1((1),(0),(1))=1*((1),(0),(1))=((1),(0),(1))$
e invece basta svolgere la moltiplicazione per vedere che non è così infatti
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))=((1-1),(1),(2-1))=((0),(1),(1))$
il secondo va bene
Comunque il metodo che usate è giusto... è praticamente quello che uso io ma in una forma leggermente diversa
"Mire_90":
il ragionamento non fa una piega
y-2z=-2t
e non y-2z=t
spero che ti torni. Infatti così facendo ti viene come a me
$V(\lambda1)=<((1),(-2),(0))>$
(mi scuso perchè nel primo messaggio di risposta mi era sfuggito un meno davanti al due)
Che sbadata! mi sa che mi ero mangiata quel 2 per colazione!
"Mire_90":
il primo autovettore di Mariacristina è sbagliato perchè infatti svolgendo la moltiplicazione
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))$
dovrei ottenere
$\lambda1((1),(0),(1))=1*((1),(0),(1))=((1),(0),(1))$
e invece basta svolgere la moltiplicazione per vedere che non è così infatti
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))=((1-1),(1),(2-1))=((0),(1),(1))$
il secondo va bene
Comunque il metodo che usate è giusto... è praticamente quello che uso io ma in una forma leggermente diversa
quindi solo il primo e' sbagliato,mannaggia
devo aver fatto un errore di calcolo nel primo autospazio 
Per l'autospazio V(1) sostituendo $1$ al posto di $-t$ ottengo tale matrice,ditemi se vi trovate: $ ((0,0,-1),(0,0,1),(2,1,-2))$ vi trovate?
si ok...ora devi risolvere il sistema
$((0,0,-1),(0,0,1),(2,1,-2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
$((0,0,-1),(0,0,1),(2,1,-2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
"mariacristina87":
Per l'autospazio V(1) sostituendo $1$ al posto di $-t$ ottengo tale matrice,ditemi se vi trovate: $ ((0,0,-1),(0,0,1),(2,1,-2))$ vi trovate?
con i calcoli non mi trovo che il primo autovettore e' $(0,1,1)$
"Mire_90":
si ok...ora devi risolvere il sistema
$((0,0,-1),(0,0,1),(2,1,-2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
Lo risolvo con l'algoritmo di Gauss per prima cosa scambio $R3<--->R1 $ ed ottengo $((2,1,-2),(0,0,1),(0,0,-1))$ noto che seconda e terza riga sono dipendenti e posso farne la somma per eliminare la terza e ottengo $((2,1,-2),(0,0,1),(0,0,0))$ il rango della matrice e' 2 e risolvo il sistema ed ottengo: ${ 2x1+x2-2x3=0,x2=0, x3=x3$
[tex]Soluzioni={(x3,0,x3)}[/tex] Autovettore: $L{(1,0,1)}$
Infatti l'autovettore che cerchi è $((1),(-2),(0))$....
il vettore $((0),(1),(1))$ non c'entra niente serviva solo a farti vedere come ti potevi accorgere se avevi sbagliato o meno,
spero di non averti confuso
comunque rileggi bene questo post
il vettore $((0),(1),(1))$ non c'entra niente serviva solo a farti vedere come ti potevi accorgere se avevi sbagliato o meno,
spero di non averti confuso
comunque rileggi bene questo post
"Mire_90":
il primo autovettore di Mariacristina è sbagliato perchè infatti svolgendo la moltiplicazione
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))$
dovrei ottenere
$\lambda1((1),(0),(1))=1*((1),(0),(1))=((1),(0),(1))$
e invece basta svolgere la moltiplicazione per vedere che non è così infatti
$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))((1),(0),(1))=((1-1),(1),(2-1))=((0),(1),(1))$
il secondo va bene
Comunque il metodo che usate è giusto... è praticamente quello che uso io ma in una forma leggermente diversa
Mire_90 non mi e' chiaro come fa ad uscire $(1,-2,0)$
sbagli ad applicare il metodo di gauss...
allora facciamo un po' di ordine... va bene fino a quando dici che sostituisci la terza riga con la somma della seconda e della terza
quindi il sistema risulta questo
$((2,1,-2),(0,0,1),(0,0,0))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$
a questo punto ti riscrivo la stessa cosa in forma non matriciale per renderti la cosa più chiara
$2x_1+x_2-2x_3=0$
$0x_1+0x_2+x_3=0$
$0x_1+0x_2+0x_3=0$
l'ultima equazione non dice niente perchè è vera per qualunque $x_1$ $x_2$ $x_3$....puoi letteralmente buttarla via
ti rimane il sistema di due equazioni in tre incognite
$2x_1+x_2-2x_3=0$
$x_3=0$
e quindi
$2x_1+x_2=0$
ora puoi sceglierne una incognita a caso e trattarla come un parametro e risolvere l'equazione nell'altra incognita
per esempio io decido di considerare x1 un parametro ovvero x1=t
l'equazione diventa
$2t+x_2=0$
e quindi $x_2=-2t$
dunque riassumendo
$((x_1),(x_2),(x_3))=((t),(-2t),(0))=((1),(-2),(0))t$
e quindi V(1) è lo spazio generato da $((1),(-2),(0))$
ti consiglio di fare qualche esercizio sul metodo di gauss.. ti chiarirebbe le idee
allora facciamo un po' di ordine... va bene fino a quando dici che sostituisci la terza riga con la somma della seconda e della terza
quindi il sistema risulta questo
$((2,1,-2),(0,0,1),(0,0,0))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$
a questo punto ti riscrivo la stessa cosa in forma non matriciale per renderti la cosa più chiara
$2x_1+x_2-2x_3=0$
$0x_1+0x_2+x_3=0$
$0x_1+0x_2+0x_3=0$
l'ultima equazione non dice niente perchè è vera per qualunque $x_1$ $x_2$ $x_3$....puoi letteralmente buttarla via
ti rimane il sistema di due equazioni in tre incognite
$2x_1+x_2-2x_3=0$
$x_3=0$
e quindi
$2x_1+x_2=0$
ora puoi sceglierne una incognita a caso e trattarla come un parametro e risolvere l'equazione nell'altra incognita
per esempio io decido di considerare x1 un parametro ovvero x1=t
l'equazione diventa
$2t+x_2=0$
e quindi $x_2=-2t$
dunque riassumendo
$((x_1),(x_2),(x_3))=((t),(-2t),(0))=((1),(-2),(0))t$
e quindi V(1) è lo spazio generato da $((1),(-2),(0))$
ti consiglio di fare qualche esercizio sul metodo di gauss.. ti chiarirebbe le idee
Ragazze ma la dimensione degli autospazi V e quindi della molteplicità geometrica è uguale al rango della matrice generata?
ad esempio se il rango è 2, la dimV è 2?
e in più, se la molt.geometrica è maggiore alla motepl. algebrica vuol dire che la matrice non è diagonalizzabile?
facendo un nuovo esercizio ma simile a quest'ultimo mi sono sorti questi nuovi dubbi!
ad esempio se il rango è 2, la dimV è 2?
e in più, se la molt.geometrica è maggiore alla motepl. algebrica vuol dire che la matrice non è diagonalizzabile?
facendo un nuovo esercizio ma simile a quest'ultimo mi sono sorti questi nuovi dubbi!
apparte che io sono un ragazzo effettivamente non potevi saperlo.
Comunque la molteplicità algebrica di $\lambda$ è l'esponente con cui compare il fattore $(x-\lambda)$ nella scomposizione del polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI)$. Nel tuo caso il polinomio era $x^3-x^2=(x-0)^2(x-1)^1$
dunque gli autovalori sono 1 con molteplicità algebrica 1 e 0 con molteplicità algebrica 2.
mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V(\lambda)$ che però attenzione non è uguale al rango della matrice $(A-\lambdaI)$ come dicevi ma è la dimensione dell'endomorfismo meno il rango di $(A-\lambdaI)$.... semplicemente prendi il numero di righe della matrice (nel tuo caso era 3) e ci sottrai il rango di $(A-\lambdaI)$ (che nel tuo caso era 2 mi sembra)...quindi la molteplicità geometrica di $\lambda$ è 3-2=1
infatti nel tuo caso lo spazio $V(1)$ aveva come base un solo vettore.
Per poter diagonalizzare una matrice molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore devono essere uguali.
Una matrice $A\in R^\(nxn)$è diagonabilizzabile in R se riesci a trovare una base di $R^n$ fatta da autovettori di A.
Quindi se la molteplicità algebrica di un autovalore è maggiore dalla molteplicità geometrica (non succede mai il contrario) è impossibile diagonalizzare A perchè non troverai mai n autovettori indipendenti
effettivamente non potevi saperlo. Comunque la molteplicità algebrica di $\lambda$ è l'esponente con cui compare il fattore $(x-\lambda)$ nella scomposizione del polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI)$. Nel tuo caso il polinomio era $x^3-x^2=(x-0)^2(x-1)^1$
dunque gli autovalori sono 1 con molteplicità algebrica 1 e 0 con molteplicità algebrica 2.
mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V(\lambda)$ che però attenzione non è uguale al rango della matrice $(A-\lambdaI)$ come dicevi ma è la dimensione dell'endomorfismo meno il rango di $(A-\lambdaI)$.... semplicemente prendi il numero di righe della matrice (nel tuo caso era 3) e ci sottrai il rango di $(A-\lambdaI)$ (che nel tuo caso era 2 mi sembra)...quindi la molteplicità geometrica di $\lambda$ è 3-2=1
infatti nel tuo caso lo spazio $V(1)$ aveva come base un solo vettore.
Per poter diagonalizzare una matrice molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore devono essere uguali.
Una matrice $A\in R^\(nxn)$è diagonabilizzabile in R se riesci a trovare una base di $R^n$ fatta da autovettori di A.
Quindi se la molteplicità algebrica di un autovalore è maggiore dalla molteplicità geometrica (non succede mai il contrario) è impossibile diagonalizzare A perchè non troverai mai n autovettori indipendenti
mire adesso mi so resa conto,avevo scritto male il sistema -_-
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