Diagonalizzare una matrice

[FiorediLoto2]

Salve a tutti,
ho dei dubbi su un esercizio, più specificamente sui passaggi, non so se sono giusti o sbagliati. Dato che non ci sono i risultati non posso confrontare il mio con quello giusto. L'argomento è nuovo quindi troppi dubbi mi assalgono. Nonostante questo ho cercato di risolvere il problema comunque, spero mi aiuterete a capire dove ho sbagliato perchè credo che abbia sbagliato da qualche parte!
Grazie anticipatamente per l'aiuto

Diagonalizzare, se possibile, la matrice A

$((1,0,-1),(0,1,1),(2,1,-1))$ appartenente a $R^3$

Ho calcolato gli autovalori calcolando il $det(A-($\lambda$*I)=0


due soluzioni:
$\lambda1$=1 ------> moteplicita algebr. =1
$\lambda2$=0 ------>molteplicità algebr.= 2

calcolo gli autospazi:

V($\lambda1$)={(x,y,z)| (A-I)* $((x),(y),(z))$ =0}$

equazioni: z=0
2x+y=0

pongo x=t -----> y=-t

soluzione= (t, -t, 0)
una Base di V($\lambda1$) è (1, -1, 0)
dimV($\lambda1$)=1 ??


Lo stesso ragionamento per l'altro sottospazio:
equazioni:
x-y=0
y+z=0
2x+y-z=0

dimV($\lambda2$)= 2 ??

pongo z=t -------> x=t , y=-t

soluzioni: (t,-t,t)
una base (1,-1,1)


matrice diagonale D:

$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$

matrice diagonalizzante P:

$((1,1),(-1,-1),(0,1))$

Perche quest'ultima matrice è 2x3??
cosa ho sbagliato?

grazie a tutti per l'immane aiuto

[FiorediLoto2]

"Mire_90":apparte che io sono un ragazzo effettivamente non potevi saperlo.

Comunque la molteplicità algebrica di $\lambda$ è l'esponente con cui compare il fattore $(x-\lambda)$ nella scomposizione del polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI)$. Nel tuo caso il polinomio era $x^3-x^2=(x-0)^2(x-1)^1$
dunque gli autovalori sono 1 con molteplicità algebrica 1 e 0 con molteplicità algebrica 2.

mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V(\lambda)$ che però attenzione non è uguale al rango della matrice $(A-\lambdaI)$ come dicevi ma è la dimensione dell'endomorfismo meno il rango di $(A-\lambdaI)$.... semplicemente prendi il numero di righe della matrice (nel tuo caso era 3) e ci sottrai il rango di $(A-\lambdaI)$ (che nel tuo caso era 2 mi sembra)...quindi la molteplicità geometrica di $\lambda$ è 3-2=1
infatti nel tuo caso lo spazio $V(1)$ aveva come base un solo vettore.

Per poter diagonalizzare una matrice molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore devono essere uguali.
Una matrice $A\in R^\(nxn)$è diagonabilizzabile in R se riesci a trovare una base di $R^n$ fatta da autovettori di A.
Quindi se la molteplicità algebrica di un autovalore è maggiore dalla molteplicità geometrica (non succede mai il contrario) è impossibile diagonalizzare A perchè non troverai mai n autovettori indipendenti

Scusa se ti ho dato della ragazza
comunque il mio prof ancora non parla di endomorfismo, ma grazie alla tua eccellente spiegazione, finalmente ho compreso tutto
grazie ancora!

[Mire_90]

prego

[FiorediLoto2]

Ma se il polinomio caratteristico è ad esempio $t^2-1=0$

gli autovalori sono due!

t= 1 e t=-1

e quindi quale sara la molteplicità algebrica in questo caso??

devo svolgere gli autospazi prima per t=1 e poi per t=-1?
Come dovrei comportarmi?

Grazie ragazzi, aspettero' la vostra risposta domattina perchè penso che nessuno mi risponderà a mezzanotte e mezza di un sabato sera eheh

grazie e buonanotte!

[mistake89]

quel tuo polinomio di scompone in $(t-1)(t+1)$ quindi i due autovalori sono esattamente $1$ e $-1$ e la loro molteplicità è $1$ entrambi, in quanto compaiono solo una volta come radice...
Inoltre dalla relazione $1<=dim(V_(lambda_0))<=h(lambda_0)$ puoi concludere subito dicendo che è diagonalizzabile!

[FiorediLoto2]

"mistake89":quel tuo polinomio di scompone in $(t-1)(t+1)$ quindi i due autovalori sono esattamente $1$ e $-1$ e la loro molteplicità è $1$ entrambi, in quanto compaiono solo una volta come radice...
Inoltre dalla relazione $1<=dim(V_(lambda_0))<=h(lambda_0)$ puoi concludere subito dicendo che è diagonalizzabile!

Ciao Mistake!
grazie per la tua risposta!
Potresti spiegarmi l'ultima relazione $1<=dim(V_(lambda_0))<=h(lambda_0)$ e in particolare cosa rappresenta h?
Grazie

[FiorediLoto2]

Questa relazione mi permette quindi di capire in maniera veloce se una matrice è diagonalizzabile o meno?
Come faccio a metterla in pratica?

[mistake89]

$h(lambda_0)$ è la molteplicità algebrica di un autovalore.
Ora sappiamo che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico è interamente scomponibile in $V$ e se le rispettive molteplicità coincidono.
Da quella relazione hai necessariamente che se la molteplicità algebrica è uno, anche quelle geometria è uno, quindi necessariamente coincidono...

Fermo restando che il polinomio deve essere interamente scomponibile!

[FiorediLoto2]

Quindi basta vedere se il polinomio è interamente scomponibile?
Come hai fatto a capire senza fare calcoli che la molteplicità geometrica è 1?
(E che quindi le molteplicità algebriche coincidono?)

Ti ringrazio per la tua grande disponibilità

[mistake89]

se hai quantità maggiore uguale di $1$ e minore uguale di $1$ essa necessariamente è $1$.

No, devi sempre controllare che molteplicità algebrica e geometrica coincidano... però, se la molteplicità algebrica è $1$ necessariamente quella geometrica è $1$ per quanto detto sopra!

[FiorediLoto2]

oooooook grazie mille, oltretutto sei stato anche molto veloce!