Diagonalizzare matrice simmetrica: come?

[^Tipper^1]

Ciao! Non ho capito come diagonalizzare una matrice simmetrica, come per sempio questa. $((k+1,k-1,-3),(k-1,2k+1,3),(-3,3,-4k+7))$ Il teorema spettrale mi dice che ogni endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale ha una base ortonormale formata da autovettori, però non capisco come fare.

[j18eos]

Semplicemente hai che le matrici reali simmetriche sono diagonalizzabili, devi solo determinarne gli autovalori e gli autovettori come al solito, tanto sai che gli autovettori formano una base ortonormale!

[^Tipper^1]

Grazie.

[dissonance]

"j18eos":tanto sai che gli autovettori formano una base ortonormale!

Magari diciamo qualche parola in più: non è che per forza tutte le basi di autovettori sono ortonormali (esempio banale e demenziale: $(1, 0), (1, 1)$ è una base di autovettori per $((1, 0), (0, 1))$). Però è possibile trovare basi ortonormali di autovettori. E come si fa? Una tecnica la fornisce implicitamente la dimostrazione del teorema spettrale. Ma è laboriosa a mano, meglio lasciarla per l'implementazione al calcolatore. Altrimenti si può usare in modo creativo l'algoritmo di Gram-Schmidt: autospazi relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, quindi applicando Gram-Schmidt ad una base di ogni singolo autospazio si ottiene, alla fine, una base ortonormale di autovettori dello spazio totale.