Diagonalizzare

[angelo 86]

in due parole quando posso diagonalizzare una matrice!?..
per quello che ho capito:
se trovo infinte soluzioni alla2 e ho 2 autovettori allora la matrice è diagonalizabile!???

[misanino]

Una matrice quadrata A con n righe è diagonalizzabile se e solo se :

- la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n;
- le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono.

[angelo 86]

per il rimo punto ci sono!
per il secondo punto..non capisco cosa è la molteplicità geometrica!...come la determino in sostanza!...
se la matrice non è quadrata!??(

[mistake89]

se la matrice non è quadrata, non possiede diagonale e quindi è difficile che gliene possa comparire una!!!
La molteplicità geometria è la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore ovvero $V_(lambda_0)?{vinV|f(v)=lambda_0v}$

[misanino]

"angelo 86":per il rimo punto ci sono!
per il secondo punto..non capisco cosa è la molteplicità geometrica!...come la determino in sostanza!...
se la matrice non è quadrata!??(

Se la matrice non è quadrata non esiste una diagonale principale.
Quindi dovresti ridefinire cosa vuol dire diagonalizzare.

La molteplicità algebrica di un autovalore è invece la dimensione dell'autospazio relativo a quell'autovalore,
cioè la dimensione dello spazio generato dagli autovettori relativi a quell'autovalore

[angelo 86]

ti seguo poco..........sarebbe il numero di autovettori!?

[misanino]

"angelo 86":ti seguo poco..........sarebbe il numero di autovettori!?

No!
Ma scusa, non avete studiato la molteplicità geometrica di un autovalore?
E non sai cos'è un autospazio?

[wolf90]

"angelo 86":ti seguo poco..........sarebbe il numero di autovettori!?

La molteplicità geometrica è il numero di autovettori associato ad ogni autovalore, almeno io la ho imparata così, e funziona

Senza autospazi o altro che non so neanche cosa siano, dato che non li abbiamo fatti

[angelo 86]

no, e no e sembr greco!

[misanino]

"wolf90":[quote="angelo 86"]ti seguo poco..........sarebbe il numero di autovettori!?

La molteplicità geometrica è il numero di autovettori associato ad ogni autovalore, almeno io la ho imparata così, e funziona

[/quote]

Non ha senso la frase che hai detto.
Ad ogni autovalori sono associati infiniti autovettori.
Sia infatti $A$ la matrice, $\lambda$ un suo autovalore e $v$ un autovettore, cioè $Av=\lambdav$
Se ora prendo $w=kv$ con $k\inRR$ (ad esempio $w=2v$, $w=-5v$, $w=sqrt(2)v$....)
ho che $w$ è ancora un autovettore relativo a $\lambda$.
Infatti:
$Aw=Akv=kAv=k\lambda v=\lambda kv=\lambda w$ e quindi $w$ è autovettore.
Perciò esistono infiniti autovettori associati a $\lambda$

[wolf90]

Diciamo che era una definizione poco rigorosa, però se io prendo un autovalore con molteplicità 2, se nel sistema che ne deriva (per calcolare gli autovettori) ho $oo^(2)$ soluzioni, so che dovrò considerare 2 incognite come parametri, di conseguenza gli autovettori associati all'autovalore avranno molteplicità geometrica 2.

[angelo 86]

http://alpha01.dm.unito.it/personalpage ... ag0405.pdf
qui ci sono esempi che aprono la mente e che chiariscono molte idee........