Diagonalizzabilità matrice con parametro reale
Ciao, devo stabilire per quali valori del parametro reale a è diagonalizzabile la matrice $A=((0,-3a,0),(1,-2a,0),(1,-3,1))$.Mi calcolo il determinante della matrice A-TI che è uguale ad $(1-T)(T^2-2aT+3a)$Un primo autovalore è dunque $k1=1$.A questo punto trovo le radici dell'equazione di secondo grado scritta sopra e arrivo a :$a+-sqrt(a^2-3a)$.Faccio questa distinzione ;se il discriminante è minore di 0 allora non tutte le radici del p.c. di A sono reali e pertanto A non è diagonalizzabile; se il discriminante è maggiore di zero allora c'è da fare un ragionamento. A questo punto l' eq. di secondo grado avrà due soluzioni reali e distinte. Se una di queste soluzioni fosse uguale ad 1,allora A non è diagonalizzabile, semplicemente perché la molteplicità algebrica e quella geometrica di 1 sarebbero diverse. Dunque impongo $a+-sqrt(a^2-3a)$diverso da 1 e trovo che lo è per a diverso da -1.A questo punto concludo che A è diagonalizzabile per ogni valore reale di a diverso da -1.E' corretto?Grazie
Risposte
Non ho controllato i tuoi calcoli, ne mi metto a farne perchè la tua domanda è generale.
Il tuo obiettivo è comprendere che tipo di soluzioni ottieni al variare del paramentro a.
Ergo in questo esempio sei interessato a controllare il discriminante dell'eq di secondo grado (come hai detto tu)
E stabilire:
A) per quali valori di a è negativo. E in questo dominio la matrice non sarà diagonalizzabile nel campo dei numeri reali (come hai detto tu)
B) il dominio di a per cui il discriminante è positivo. Ergo in questi casi avrai 3 radici distinte e puoi scrivere che la matrice è diagonalizzabile al 100% (non c'è da pensare!)
C) i valori per cui il discriminante è zero (e ricavi a), ergo avrai due soli autovalori reali in totale (due radici coincidenti + una distinta). A questo punto devi controllare. Nel caso peggiore, troverai un solo autovettore per ogni autovalore e quindi non sarà diagonalizzabile (perchè te ne servono tre). Oppure troverai che la matrice associata ad almeno uno dei due autovalori produce due autovettori. Quindi riesci a ricavarne minimo 3 ed è diagonalizzabile.
Alla fine, tiri le somme e scrivi i valori (o intervalli) di a per cui la matrice è diagonalizzabile.
Il tuo obiettivo è comprendere che tipo di soluzioni ottieni al variare del paramentro a.
Ergo in questo esempio sei interessato a controllare il discriminante dell'eq di secondo grado (come hai detto tu)
E stabilire:
A) per quali valori di a è negativo. E in questo dominio la matrice non sarà diagonalizzabile nel campo dei numeri reali (come hai detto tu)
B) il dominio di a per cui il discriminante è positivo. Ergo in questi casi avrai 3 radici distinte e puoi scrivere che la matrice è diagonalizzabile al 100% (non c'è da pensare!)
C) i valori per cui il discriminante è zero (e ricavi a), ergo avrai due soli autovalori reali in totale (due radici coincidenti + una distinta). A questo punto devi controllare. Nel caso peggiore, troverai un solo autovettore per ogni autovalore e quindi non sarà diagonalizzabile (perchè te ne servono tre). Oppure troverai che la matrice associata ad almeno uno dei due autovalori produce due autovettori. Quindi riesci a ricavarne minimo 3 ed è diagonalizzabile.
Alla fine, tiri le somme e scrivi i valori (o intervalli) di a per cui la matrice è diagonalizzabile.
Grazie.Sto studiando il caso in cui il disciminante è=0.Lo è per a=0 o a=3.Per a=0 A non è diagonalizzabile.Mentre per a =3 mi esce la m.g.=0 
.E quindi 3 non sarebbe un autovalore.Come mai?Grazie ancora
.E quindi 3 non sarebbe un autovalore.Come mai?Grazie ancora
"JackPirri":
Grazie.Sto studiando il caso in cui il disciminante è=0.Lo è per a=0 o a=3.Per a=0 A non è diagonalizzabile.Mentre per a =3 mi esce la m.g.=0
Perchè è -3
Hai sbagliato il determinante/ polinomio caratteristico. Hai fatto il classico errore di segno, ovvero
$ | ( +a , -b , +c ),( d , e , f ),( g , h , i ) | $
Quindi -b*(etcetc)
Verifica sempre la somma degli autovalori con la traccia della matrice prima di procedere.
Per a=3 la matrice diventa:
$ A=( ( 0 , -9 , 0 ),( 1 , -6 , 0 ),( 1 , -3 , 1 ) ) $
La traccia quindi è Tr(A)=0-6+1= -5 e dev'essere uguale alla somma degli autovalori.
Con la radice coincidente pari a 3, la somma sarebbe 3+3+1=7, quindi ti saresti accorto dell'errore
Con la radice coincidente pari a -3, la somma è -3-3+1=-5=Tr(A)
Ti ringrazio per la pazienza.Non ho capito dove ho sbagliato, ti riporto i calcoli che ho fatto.
Il p.c. è uguale a $-T^3+(1-2a)T^2-aT+3a$.Lo scompongo con Ruffini e ottengo $(T-1)(-T^2-2at-3a)$ che cambiato di segno diventa $(1-T)(T^2+2at+3a)$.Ponendolo uguale a zero trovo il primo autovalore cioè 1.Ora mi rimane l'eq.di secondo grado :$(-2a+-sqrt(4a^2-4(1)(3a)))/2$.Dopo tre passaggi si arriva a $-a+-sqrt(a^2-3a)$.Grazie mille.
Il p.c. è uguale a $-T^3+(1-2a)T^2-aT+3a$.Lo scompongo con Ruffini e ottengo $(T-1)(-T^2-2at-3a)$ che cambiato di segno diventa $(1-T)(T^2+2at+3a)$.Ponendolo uguale a zero trovo il primo autovalore cioè 1.Ora mi rimane l'eq.di secondo grado :$(-2a+-sqrt(4a^2-4(1)(3a)))/2$.Dopo tre passaggi si arriva a $-a+-sqrt(a^2-3a)$.Grazie mille.
"JackPirri":
Dopo tre passaggi si arriva a $-a+-sqrt(a^2-3a)$.Grazie mille.
Non capisco cosa non capisci visto che è giusto adesso.
$T=-a+-sqrt(a^2-3a)$
Per $a=3$, allora $T=-3$
No?
All'inizio sbagliavi ma adesso no.
Si ora ho capito.Rifaccio l'esercizio per bene e lo posto.
Per $a^2-3a<0$:il discriminante è minore di zero se $0
Il discriminante è maggiore di zero se $a<0 U a>3$.In questo caso la matrice sarà sempre diagonalizzabile però bisogna porre $-a+-sqrt(a^2-3a) != 1$, altrimenti A non è diagonalizzabile, e cio si ha per $a!=-1/5$ e $a=-1$.Spero sia corretto.
Il discriminante è maggiore di zero se $a<0 U a>3$.In questo caso la matrice sarà sempre diagonalizzabile però bisogna porre $-a+-sqrt(a^2-3a) != 1$, altrimenti A non è diagonalizzabile, e cio si ha per $a!=-1/5$ e $a=-1$.Spero sia corretto.
Jack, sei all'università? Io scriverei:
"Determino il polinomio caratteristico e ne studio le radici"
$A=|(-T,-3a,0),(1,-2a-T,0),(1,-3,1-T)|=(1-T)(T^2+2aT+3a)=0$
"Le tre radici/autovalori sono ${1, -a+sqrt(a^2-3a), -a-sqrt(a^2-3a)}$
"Necessito di tre autovettori per creare una base in $R^3$ "
"Per valori di $0
"Per a=0 e a=3 si ottengono solo due autovalori reali distinti, pertanto occorre verificare"
E qui scrivo...per a=0, gli autovalori sono 1 e 0. La matrice A-IT diventa..e scrivo la matrice. Poi faccio vedere che ad ogni autovalore si ricava un solo autovettore e concludo dicendo che "la molteplicità geometrica è pari a quella algebrica pertanto A non è diagonalizzabile"
Stessa cosa per a=3.
Conclusione, la matrice A è diagonalizzabile per a<0 e a>3. Punto.
Giuro che non ho capito perchè tu voglia vincolare le radici ad un valore diverso da 1...non ha alcun senso ed è errato.
"Determino il polinomio caratteristico e ne studio le radici"
$A=|(-T,-3a,0),(1,-2a-T,0),(1,-3,1-T)|=(1-T)(T^2+2aT+3a)=0$
"Le tre radici/autovalori sono ${1, -a+sqrt(a^2-3a), -a-sqrt(a^2-3a)}$
"Necessito di tre autovettori per creare una base in $R^3$ "
"Per valori di $0
"Per a=0 e a=3 si ottengono solo due autovalori reali distinti, pertanto occorre verificare"
E qui scrivo...per a=0, gli autovalori sono 1 e 0. La matrice A-IT diventa..e scrivo la matrice. Poi faccio vedere che ad ogni autovalore si ricava un solo autovettore e concludo dicendo che "la molteplicità geometrica è pari a quella algebrica pertanto A non è diagonalizzabile"
Stessa cosa per a=3.
Conclusione, la matrice A è diagonalizzabile per a<0 e a>3. Punto.
Giuro che non ho capito perchè tu voglia vincolare le radici ad un valore diverso da 1...non ha alcun senso ed è errato.
Si frequento il primo anno di ingegneria.Nell'esercizio sono giunto alle tue stesse conclusioni.Nel caso del discriminante maggiore di zero, impongo che le radici dell'equazione siano diverse da 1 perché altrimenti avrei due autovalori distinti di cui uno uguale ad 1.La molteplicità algebrica dell'autovalore sarebbe 2 e quella geometrica 1.Dato che sono diverse A non sarebbe diagonalizzabile.
"JackPirri":
Nel caso del discriminante maggiore di zero, impongo che le radici dell'equazione siano diverse da 1 perché altrimenti avrei due autovalori distinti di cui uno uguale ad 1.La molteplicità algebrica dell'autovalore sarebbe 2 e quella geometrica 1.Dato che sono diverse A non sarebbe diagonalizzabile.
Mi dispiace ma la frase che ho messo in grassetto non è semplicemente dotata di senso in generale, tout court.
Per quanto riguarda il tuo timore che una delle due radici dell'eq. di secondo grado sia identica alla terza radice T=1 è fondato. Ti sei posto giustamente il problema di cosa potrebbe accadere...ma non sei andato a guardare (e nemmeno io per la verità e me ne scuso, doh!).
Ma la tua affermazione per cui "Se per uno specifico valore di "a" ottengo due autovalori pari a 1 + uno diverso, allora la matrice non è diagonalizzabile" è totalmente gratuita (oltre che errata come vedremo) perchè non sei andato a guardare!
Per $a=-1/5$ la matrice diventa:
$(A-IT)=((-T,3/5,0),(1,2/5-T,0),(1,-3,1-T))$
e abbiamo solo due autovalori ovvero $(1, -3/5)$
Guarda un po' cosa accade se sostituisco T=1...la matrice diventa:
$(A-IT)=((-1,3/5,0),(1,-3/5,0),(1,-3,0))$
Si vede ad occhio nudo che la matrice ha rango 1 e quindi dall'autovalore $T=1$ si ricavano 2 autovettori. Non guardo nemmeno quanti autovettori si ricavano per $T=-3/5$ perchè di sicuro un terzo lo ricavo e quindi posso certamente formare una base di $R^3$ e diagonalizzare la matrice.
Infine per $a=-1$ si ottengono tre autovalori distinti (1, 3, -1) quindi non capisco da dove l'hai tirato fuori (
) e perchè sia un problema! La matrice è diagonalizzabilissima per $a=-1$
Curiosamente nel post precedente ho scritto la matrice giusta
$(A-IT)=((-1,3/5,0),(1,-3/5,0),(1,-3,0))$
mentre sul foglietto (per ragioni misteriose) mi ero scritto:
$(A-IT)=((-1,3/5,0),(1,-3/5,0),(1,-3/5,0))$
Si vede chiaramente che ha rango 2 quindi si ricava un solo autovettore. Anche per $T=-3/5$ la matrice ha rango 2.
Ergo per $a=-1/5$ la matrice NON è diagonalizzabile...ma bisognava andare a vedere!
E non dirmi che l'avevi fatto!
$(A-IT)=((-1,3/5,0),(1,-3/5,0),(1,-3,0))$
mentre sul foglietto (per ragioni misteriose) mi ero scritto:
$(A-IT)=((-1,3/5,0),(1,-3/5,0),(1,-3/5,0))$
Si vede chiaramente che ha rango 2 quindi si ricava un solo autovettore. Anche per $T=-3/5$ la matrice ha rango 2.
Ergo per $a=-1/5$ la matrice NON è diagonalizzabile...ma bisognava andare a vedere!
E non dirmi che l'avevi fatto!
Nella frase che hai messo in grassetto mi riferivo all'autovalore uguale ad 1.Se la ma e la mg sono diverse l'endomorfismo non è semplice e quindi A non è diagonalizzabile.E' vero non ho controllato.Ho controllato e per $a=-1/5$ la matrice non è diagonalizzabile per il motivo che ho scritto sopra.L'$a!=-1$ mi veniva da $-a-sqrt(a^2-3a)!=1$.Ho sbagliato i calcoli perché non viene per $a!=-1$ ma $a<=0 U a>=3$ e quindi, dato che sto considerando il caso in cui il discriminante è maggiore di zero , questa seconda radice è sempre diversa da 1.Quindi, in definitiva, la matrice non è diagonalizzabile per valori di a appartenenti all'intervallo $[0;3]$ e per $a=-1/5$.
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