Diagonalizzabilità e diagonale simile
Ciao a tutti, ho un problemino nel trovare le diagonali simili e se possibile vorrei una spiegazione dettagliata, questa è la matrice in questione : 
ho già verificato la diagonalizzabilità e D = (2,2,0) ( ditemi se è corretta non si sa mai!), ho letto in giro che devo calcolare D = P-1 AP ma sinceramente sarò io stanco ma non so calcolare questa diagonale simile....aiuto!
Grazie in anticipo.
ho già verificato la diagonalizzabilità e D = (2,2,0) ( ditemi se è corretta non si sa mai!), ho letto in giro che devo calcolare D = P-1 AP ma sinceramente sarò io stanco ma non so calcolare questa diagonale simile....aiuto!
Grazie in anticipo.
Risposte
Allora... si dice che $D$ è simile ad $A$ se esiste una matrice $P$ invertibile tale che $D=P^(-1)AP$
Naturalmente si parla di matrici tutte dello stesso ordine e sullo stesso campo.
La matrice $P$ ora vediamo come si costruisce.. andiamo passo passo.
$A_k=((-2,1,0),(9,0,-9),(-k,1,k-2))$
Calcoliamo il polinomio caratteristico...
$|A-lambdaI|=|(-2-lambda,1,0),(9,-lambda,-9),(-k,1,k-2-lambda)|$
Sommo la terza colonna alla prima
$|(-2-lambda,1,0),(0,-lambda,-9),(-2-lambda,1,k-2-lambda)|$
Sottraggo la prima all'ultima
$|(-2-lambda,1,0),(0,-lambda,-9),(0,0,k-2-lambda)|=(2+lambda)(lambda)(k-2-lambda)$
Dunque gli autovalori possibili sono $lambda_1=-2,lambda_2=0,lambda_2=k-2$
Ora se abbiamo tutti e tre i fattori distinti, è sicuramente diagonalizzabile, verifichiamo se qualche fattore magari può aumentare la molteplicità algebrica.
Per esempio se $k=2$ si ha $m_a(0)=2$
Oppure se $k=0$ si ha $m_a(2)=2$
Questo poiché il terzo fattore va ad aumentare la molteplicità algebrica dei due autovalori, nei due caso distinti. Ora per $kne0,2=>A$ è diagonalizzabile. Esaminiamo i casi esclusi
$k=2=>P(lambda)=-lambda^2(2+lambda)$
Ora per calcolare la molteplicità geometrica calcoliamo $r(A-0I)$
$k=0=>p(lambda)=-lambda(2+lambda)^2$
Ora allo stesso modo calcoliamo $r(A+2I)$
Per farti vedere il discorso della matrice simile, prendiamo il caso $k=1$, giusto per fare un caso particolare, che lo sto facendo tutto dal cellulare. Sappiamo già che è diagonalizzabile dunque calcoliamo subito quelli che sono gli autospazi
Gli autovalori diventano $lambda=-2,0,-1$ e $A_1=((-2,1,0),(9,0,-9),(-1,1,-1))$
Se noti la seconda riga è combinazione lineare dell'ultima e della prima, quindi
$A_1X=((-2,1,0),(-1,1,-1))((x),(y),(z))=((-2x+y),(-x+y-z))=0$
da cui ${(y=2x),(z=x):}$ dunque $< ((x),(2x),(x)) > =V_0$
$(A_1+2I)X=((0,1,0),(9,2,-9),(-1,1,1))$ anche qui vale la stessa cosa
$((0,1,0),(-1,1,1))((x),(y),(z))=((y),(-x+y+z))$
da cui ${(y=0),(x=z):}$ dunque $< ((x),(0),(x)) >=V_(-2)$
Infine $(A_1+I)X=((-1,1,0),(9,1,-9),(-1,1,0))$ qui è proprio palese..
$((-1,1,0),(9,1,-9))((x),(y),(z))=((-x+y),(9x+y-9z))$
da cui ${(x=y),(z=10/9x):}$ dunque $<((9x),(9x),(10x))>=V_(-1)$
otteniamo $B={((1),(2),(1)),((1),(0),(1)),((9),(9),(10))}$ che è una base di autovettori rispetto a una certa base dell'endomorfismo a cui $A$ sarà associata. La matrice $P$ la ottieni proprio mettendo in matrice le tre colonne.
$P=((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))$
Ora per fare la verifica basta ricordare che $PD=AP$
Sicuramente la matrice diagonale sarà $((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,-1))$
$AP=((-2,1,0),(9,0,-9),(-1,1,-1))((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))=((0,-2,-9),(0,0,-9),(0,-2,-10))$
$PD=((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,-1))=((0,-2,-9),(0,0,-9),(0,-2,-10))$
E dunque sono uguali.. dunque $D=P^(-1)AP$
Naturalmente si parla di matrici tutte dello stesso ordine e sullo stesso campo.
La matrice $P$ ora vediamo come si costruisce.. andiamo passo passo.
$A_k=((-2,1,0),(9,0,-9),(-k,1,k-2))$
Calcoliamo il polinomio caratteristico...
$|A-lambdaI|=|(-2-lambda,1,0),(9,-lambda,-9),(-k,1,k-2-lambda)|$
Sommo la terza colonna alla prima
$|(-2-lambda,1,0),(0,-lambda,-9),(-2-lambda,1,k-2-lambda)|$
Sottraggo la prima all'ultima
$|(-2-lambda,1,0),(0,-lambda,-9),(0,0,k-2-lambda)|=(2+lambda)(lambda)(k-2-lambda)$
Dunque gli autovalori possibili sono $lambda_1=-2,lambda_2=0,lambda_2=k-2$
Ora se abbiamo tutti e tre i fattori distinti, è sicuramente diagonalizzabile, verifichiamo se qualche fattore magari può aumentare la molteplicità algebrica.
Per esempio se $k=2$ si ha $m_a(0)=2$
Oppure se $k=0$ si ha $m_a(2)=2$
Questo poiché il terzo fattore va ad aumentare la molteplicità algebrica dei due autovalori, nei due caso distinti. Ora per $kne0,2=>A$ è diagonalizzabile. Esaminiamo i casi esclusi
$k=2=>P(lambda)=-lambda^2(2+lambda)$
Ora per calcolare la molteplicità geometrica calcoliamo $r(A-0I)$
$k=0=>p(lambda)=-lambda(2+lambda)^2$
Ora allo stesso modo calcoliamo $r(A+2I)$
Per farti vedere il discorso della matrice simile, prendiamo il caso $k=1$, giusto per fare un caso particolare, che lo sto facendo tutto dal cellulare. Sappiamo già che è diagonalizzabile dunque calcoliamo subito quelli che sono gli autospazi
Gli autovalori diventano $lambda=-2,0,-1$ e $A_1=((-2,1,0),(9,0,-9),(-1,1,-1))$
Se noti la seconda riga è combinazione lineare dell'ultima e della prima, quindi
$A_1X=((-2,1,0),(-1,1,-1))((x),(y),(z))=((-2x+y),(-x+y-z))=0$
da cui ${(y=2x),(z=x):}$ dunque $< ((x),(2x),(x)) > =V_0$
$(A_1+2I)X=((0,1,0),(9,2,-9),(-1,1,1))$ anche qui vale la stessa cosa
$((0,1,0),(-1,1,1))((x),(y),(z))=((y),(-x+y+z))$
da cui ${(y=0),(x=z):}$ dunque $< ((x),(0),(x)) >=V_(-2)$
Infine $(A_1+I)X=((-1,1,0),(9,1,-9),(-1,1,0))$ qui è proprio palese..
$((-1,1,0),(9,1,-9))((x),(y),(z))=((-x+y),(9x+y-9z))$
da cui ${(x=y),(z=10/9x):}$ dunque $<((9x),(9x),(10x))>=V_(-1)$
otteniamo $B={((1),(2),(1)),((1),(0),(1)),((9),(9),(10))}$ che è una base di autovettori rispetto a una certa base dell'endomorfismo a cui $A$ sarà associata. La matrice $P$ la ottieni proprio mettendo in matrice le tre colonne.
$P=((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))$
Ora per fare la verifica basta ricordare che $PD=AP$
Sicuramente la matrice diagonale sarà $((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,-1))$
$AP=((-2,1,0),(9,0,-9),(-1,1,-1))((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))=((0,-2,-9),(0,0,-9),(0,-2,-10))$
$PD=((1,1,9),(2,0,9),(1,1,10))((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,-1))=((0,-2,-9),(0,0,-9),(0,-2,-10))$
E dunque sono uguali.. dunque $D=P^(-1)AP$
sto rifacendo tutto l'esercizio da capo confrontandomi passo passo con quello svolto da te ( grazie di avermi aiutato) e ho notato che in questo passaggio :
A−λI|=∣∣∣∣−2−λ9−k1−λ10−9k−2−λ∣∣∣∣
Sommo la terza colonna alla prima
∣∣∣∣−2−λ0−2−λ1−λ10−9k−2−λ∣∣∣∣
dalla seconda riga-prima colonna scompare il 9 e nella terza riga il k lo hai posto = 0 e un'ultima cosa hai sommato la prima riga alla terza ma non hai sommato il termine 1,2 al termine 3,2 ( 1 e 1) perchè?
(oddio si vede malissimo la matrice comunque è il primo passaggio che fai per ridurla a scala e trovare il determinante)
Altra cosa: nel calcolo del determinante perchè non hai calcolato anche la colonna 1,2 che moltiplica 2,1*3,3 - 2,3*3,1 ?
A−λI|=∣∣∣∣−2−λ9−k1−λ10−9k−2−λ∣∣∣∣
Sommo la terza colonna alla prima
∣∣∣∣−2−λ0−2−λ1−λ10−9k−2−λ∣∣∣∣
dalla seconda riga-prima colonna scompare il 9 e nella terza riga il k lo hai posto = 0 e un'ultima cosa hai sommato la prima riga alla terza ma non hai sommato il termine 1,2 al termine 3,2 ( 1 e 1) perchè?
(oddio si vede malissimo la matrice comunque è il primo passaggio che fai per ridurla a scala e trovare il determinante)
Altra cosa: nel calcolo del determinante perchè non hai calcolato anche la colonna 1,2 che moltiplica 2,1*3,3 - 2,3*3,1 ?
non si capisce bene che intendi.
Sopratutto usa le formule per scrivere in 'matematichese' perché comprendere così è impossibile.
Sopratutto usa le formule per scrivere in 'matematichese' perché comprendere così è impossibile.
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