Diagonalizzabilità..

[Musicam]

Salve, devo studiare al variare di t la diagonalizzabilità di questa matrice:

$((-1,0,0),(6,3,t),(-2,-1,-1))$

svolgendo i calcoli ho questo determinante:

(-1-x)(-4-2x-x^2+t)=0

il primo autovalore è -1

risolvendo l'altra equazione ho:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8+4t}}{2}$

ora concludo che per t=2 la matrice non è diagonalizzabile perchè avrò 3 autovalori uguali;
per t>2 è diagonalizzabile.

Ora come continuo? devo sostituire l'autovalore -1 e a t cosa metto?

[_prime_number]

Che male c'è ad avere 3 autovalori uguali?

Paola

[Riccardo Desimini]

Il polinomio caratteristico della matrice assegnata non è quello calcolato. Quello corretto risulta
\[ p_A(\lambda) = -(1+\lambda)(\lambda^2-2\lambda-3+t) \]
Da qui non possiamo proseguire se non ci dici il campo $ \mathbb{K} $ cui appartengono gli elementi di $ A $ (la matrice da te scritta).

[Musicam]

non capisco...

[Riccardo Desimini]

"Musicam":non capisco...

Considera la seguente matrice $ M $ ad elementi in $ \mathbb{R} $:
\[ M = \pmatrix{0 & 1 \\ −1 & 0} \]
Il suo polinomio caratteristico è
\[ p_M(\lambda) = 1 + \lambda^2 \]
che non ha radici reali. Quindi $ M $ non possiede autovalori e non è diagonalizzabile sul campo dei numeri reali.

D'altronde, se considero la stessa matrice $ M $ ad elementi in $ \mathbb{C} $, il suo polinomio caratteristico possiede due radici distinte; quindi $ M $ possiede due autovalori distinti ed è diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi.

[Musicam]

ok..fin qui ci siamo

[Riccardo Desimini]

A questo punto dovresti aver capito dove voglio arrivare:

Gli elementi di $ A $ a quale campo appartengono?

[Musicam]

Ad R? il delta non è negativo..

[Riccardo Desimini]

Ok, proseguiamo.

$ \lambda = -1 $ è radice di $ p_A(\lambda) $ con molteplicità algebrica $ m(-1) = 1 $ ed è dunque autovalore per $ A $.

Le radici del polinomio di secondo grado sono date da:
\[ \lambda_{1/2} = 1 \pm \sqrt{4-t} \]
Per quali valori di $ t $ le radici trovate sono reali?

[Musicam]

Per t

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[Riccardo Desimini]

"Musicam":Ad R? il delta non è negativo..

Sei sicuro di aver capito di cosa stiamo parlando? Riguarda l'esempio che ti ho fatto.

"Musicam":Per t

Cosa concludi dunque sulla diagonalizzabilità di $ A $?

[Musicam]

non so..mi aiuti?

[Riccardo Desimini]

Riporto quanto hai scritto:

"Musicam":Salve, devo studiare al variare di t la diagonalizzabilità di questa matrice:

Come vedi, non hai specificato il campo di appartenenza del parametro. Devo assumere che $ t \in \mathbb{R} $? Oppure $ t \in \mathbb{C} $?

L'esempio che ti ho mostrato sulla diagonalizzabilità della matrice $ M $ ti fa vedere che questa domanda è indispensabile per risolvere l'esercizio, dato che a seconda del campo considerato abbiamo diversi risultati sulla diagonalizzabilità di una stessa matrice.

Chiarito questo punto, torniamo alla domanda.

Quando $ A $ è diagonalizzabile? Perché?

[Kashaman]

Ciao Musicam, il campo $K$ di solito è definito all'inizio dell'esercizio. Deve essere espresso, quando tratti con le matrici, in generale.
Domanda : Hai ben chiaro cosa è un campo, si?
Qui, di seguito alcuni esempi di campi canonici.

$RR, CC, QQ, ZZ_p $ , $p$ -primo

.
Perché delle volte da campo a campo, alcune caratteristiche di una determinata matrice cambiano.

[Musicam]

devo assumere t appartenente ad R!!!
A è diagonalizzabile se la somma delle molt. alg. degli autovalori corrisponde a n ovvero la dim della matrice..e se le molteplicità alg. e geom. coincidono...

cmq la diagonalizzabilità "normale" la so fare..è quella al variare del parametro che mi blocco.

[Riccardo Desimini]

Se $ t < 0 $ e $ 0 < t < 4 $, $ A $ è sicuramente diagonalizzabile su $ \mathbb{R} $ perché ha tre radici reali distinte.

$ A $ è diagonalizzabile per $ t = 0 $ e per $ t \ge 4 $? Perché?

[Musicam]

se t>4 non è diagonalizzabile su R ma su C.
ora come continuo? per determinare l'autovettore di -1 devo sostituire a lambda -1 e a t 4?

[Riccardo Desimini]

Lascia stare $ \mathbb{C} $. Non è diagonalizzabile su $ \mathbb{R} $, esatto. Perché?

[Musicam]

perchè non è una radice reale...comunque ho modificato la risposta di prima..ora come continuo?

[Riccardo Desimini]

Ora devi dire cosa succede per $ t = 0 $ e per $ t = 4 $.

[Lorin1]

Secondo me state perdendo tempo. E' una persona che non studia che non si applica e che sopratutto non rispetta le regole del forum