Diagonalizzabilità..
Salve, devo studiare al variare di t la diagonalizzabilità di questa matrice:
$((-1,0,0),(6,3,t),(-2,-1,-1))$
svolgendo i calcoli ho questo determinante:
(-1-x)(-4-2x-x^2+t)=0
il primo autovalore è -1
risolvendo l'altra equazione ho:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8+4t}}{2}$
ora concludo che per t=2 la matrice non è diagonalizzabile perchè avrò 3 autovalori uguali;
per t>2 è diagonalizzabile.
Ora come continuo? devo sostituire l'autovalore -1 e a t cosa metto?
$((-1,0,0),(6,3,t),(-2,-1,-1))$
svolgendo i calcoli ho questo determinante:
(-1-x)(-4-2x-x^2+t)=0
il primo autovalore è -1
risolvendo l'altra equazione ho:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8+4t}}{2}$
ora concludo che per t=2 la matrice non è diagonalizzabile perchè avrò 3 autovalori uguali;
per t>2 è diagonalizzabile.
Ora come continuo? devo sostituire l'autovalore -1 e a t cosa metto?
Risposte
"Musicam":
perchè non è una radice reale...comunque ho modificato la risposta di prima..ora come continuo?
Inesatto, chi non è radice reale?! Più corretto dire
$p(\lambda)=\lambda^2+1 $ irriducibile in $RR$, e di conseguenza, essendo $deg(p)=2 => $ non ha radici in $RR$.
Comunque, secondo me dovresti chiarire questi concetti, e te li schiarisci guardando la teoria. Se sai nel profondo cosa significa diagonalizzare, forse, chiedere "come continuare" , non lo faresti.
Insomma, hai chiaro che cosa stai facendo oppure no? che senso dai all'algoritmo che stai svolgendo?
Hai chiaro cosa significa discutere una equazione con parametro, oppure no? fintanto che non fai luce su questi punti, non potrai essere autonomo, ergo, l'esame difficilmente lo superi. La pappa pronta fa male, appiattisce la mente, meglio se la si prepara.
per t=0 e 4 ottengo la stessa cosa...doppio autovalore 1
"Musicam":
per t=0 e 4 ottengo la stessa cosa...doppio autovalore 1
No. È solo per $ t = 4 $ che l'autovalore $ 1 $ ha molteplicità $ 2 $.
Cosa succede per $ t = 0 $?
Senza un minimo di teoria non si può fare la pratica...
ahhh sisi.....per t=0 ho 2 autovalori: 2 e 0 
Non ci siamo.
scusami..avevo considerato un 2 al denominatore...comunque per t=0 ho gli autovalori 4 e 0..
"Musicam":
scusami..avevo considerato un 2 al denominatore...comunque per t=0 ho gli autovalori 4 e 0..
Leggi qua:
"Riccardo Desimini":
Le radici del polinomio di secondo grado sono date da:
\[ \lambda_{1/2} = 1 \pm \sqrt{4-t} \]
Basta sostituire $ t = 0 $ e poi $ t = 4 $.
avevo letto male.....allora per t=0: autovalori -1 e 3
per t=4: autovalore 1 con molteplicità algebrica 2
spero questa volta di non aver sbagliato niente
Finalmente.
Ora possiamo tornare alla diagonalizzabilità di $ A $.
$ A $ è diagonalizzabile per $ t = 0 $ e per $ t = 4 $? Perché?
Ora possiamo tornare alla diagonalizzabilità di $ A $.
$ A $ è diagonalizzabile per $ t = 0 $ e per $ t = 4 $? Perché?
si perchè si hanno radici reali?
Sei stato tu stesso a scrivere il criterio da utilizzare:
Dai che lo sai fare.
"Musicam":
A è diagonalizzabile se la somma delle molt. alg. degli autovalori corrisponde a n ovvero la dim della matrice..e se le molteplicità alg. e geom. coincidono…
Dai che lo sai fare.
è qui che mi blocco...nel senso non so come studiare gli autovettori..al posto di t ora che devo mettere???
Caso $ t = 0 $:
Tutte le radici di $ p_A(\lambda) $ ($ \lambda_1 = −1 $ con molteplicità $ m(-1) = 2 $ e $ \lambda_2 = 3 $ con molteplicità $ m(3) = 1 $) sono nel campo ($ \mathbb{R} $), per cui sono tutte autovalori; dato che non sono distinte, però, non è più sufficiente ragionare sulla molteplicità algebrica.
Ragioniamo pertanto sulla molteplicità geometrica degli autovalori, calcolandone cioè i relativi autospazi.
\[ V(-1) = \lbrace X \in M_{3,1}(\mathbb{R}) : (A+I)X = 0 \rbrace \]
\[ V(3) = \lbrace X \in M_{3,1}(\mathbb{R}) : (A-3I)X = 0 \rbrace \]
Risolvi i sistemi lineari che definiscono gli autospazi e individua le loro dimensioni.
Tutte le radici di $ p_A(\lambda) $ ($ \lambda_1 = −1 $ con molteplicità $ m(-1) = 2 $ e $ \lambda_2 = 3 $ con molteplicità $ m(3) = 1 $) sono nel campo ($ \mathbb{R} $), per cui sono tutte autovalori; dato che non sono distinte, però, non è più sufficiente ragionare sulla molteplicità algebrica.
Ragioniamo pertanto sulla molteplicità geometrica degli autovalori, calcolandone cioè i relativi autospazi.
\[ V(-1) = \lbrace X \in M_{3,1}(\mathbb{R}) : (A+I)X = 0 \rbrace \]
\[ V(3) = \lbrace X \in M_{3,1}(\mathbb{R}) : (A-3I)X = 0 \rbrace \]
Risolvi i sistemi lineari che definiscono gli autospazi e individua le loro dimensioni.
ahhh ok..più o meno ho capito...poi devo fare la stessa cosa per t=4?
Secondo te?
si
Sono d'accordo.
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