Diagonali di ipercubi

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Tempo fa, credo alle medie, alle prese con le diagonali dei quadrati e dei cubi, mi chiesi se il rapporto fra diagonale e lato continuasse oltre $sqrt2$ e $sqrt3$ a seconda del numero di dimensioni del "cubo", e quindi se la diagonale di un ipotetico cubo a quattro dimensioni misurasse $sqrt4 = 2$ volte il lato. Purtroppo all'epoca i miei mezzi di informazione di cui disponevo erano comprensibilmente scarsi e tutto si perse in una nube di fumo.
L'altra sera, tornando vagamente a quei... ricordi felici mi son ricordato di un paio di ipotesi strambe, fra cui questa, e cercando su internet ho scoperto che la diagonale di un ipercubo unitario ad $n$ dimensioni misura effettivamente $sqrtn$.
Ora il mio dubbio è di altra natura: come si definisce la "diagonale" di un solido a più di 3 dimensioni? Forse come massima distanza fra due punti appartenenti al solido? E come effettivamente si potrebbe presentare il problema della diagonale doppia del lato perché sia "visivamente" comprensibile, per quanto difficoltoso? (In giro ho visto realizzazioni dinamiche interessanti, come un ipercubo in rotazione qui)
Ma soprattutto, come si può procedere nel dimostrare questo genere di congettura?

Vi ringrazio per l'attenzione!

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]La geometria negli iperspazi non è argomento di secondaria; sposto in Geometria e lì potranno valutare meglio se altre sezioni sono più adatte.[/xdom]