DETTAGLIO DIMOSTRAZIONE

[Sk_Anonymous]

teorema
sia $K sube RR^m$ compatto e $f:K->RR^n$ continua e invertibile in K. Allora l'inversa $f^(-1)$ è continua nel suo dominio $f(K)$

dim
per dimostrare la continuità della funzione $f^(-1):f(K)->K$ è sufficiente dimostrare che, preso un punto non isolato $yinf(K)$ e una successione ${y_k}subef(K)$ t.c. $y_k ->y$ per $k->+oo$, si ha
$x_k:=f^(-1)(y_k)->f^(-1)(y)

supponiamo, per assurdo che $x_k$ non tenda a $f^(-1)(y)$ quindi per definizione di limite $EE epsilon_0>0 EE$ una sottosuccessione ${x_(l_k)}$ di ${x_k}$ t.c.
$||x_(l_k)-f^(-1)(y)||>=epsilon_0 AAkinNN

ecc..........

domanda: che bisogno c'è di prendere una sottosuccessione nell'ultimo passaggio?

[Luca.Lussardi]

Se $x_k$ non tende ad $c$ allora non è detto che tutta la successione per intero sia definitivamente distante da $c$, ma sicuamente una sua estratta sì.

[Sk_Anonymous]

però per ipotesi $x_k:=f^(-1)(y_k)->f^(-1)(y)$ e quindi anche ogni sua sottosuccessione tende a $f^(-1)(y)$. Non mi sembra necessario prendere la sottosuccessione... cosa mi manca?? (grazie luca)

[Luca.Lussardi]

Tu stai negando che $x_k$ tenda a $f^(-1)(y)$ (se leggo bene); negare che una successione converga significa dire che esiste una sottosuccessione che è definitivamente distante da $f^(-1)(y)$. Se tu prendi la successione $x_n=0$ per $n$ pari e $x_n=1$ per $n$ dispari, essa non ha limite $0$, ma non è vero che i termini della successione siano distanti da $0$ da un certo $n$ in poi.

[Sk_Anonymous]

mmmmmmmmmmmmm è una cosa nuova.... voglio scoprire che corrispondenza c'è con i teoremi sulle successioni che ho studiato....

supponiamo che io voglia negare l'affermazione: $a_n->c in RR$ per $n->+oo$
potrei arrivare al tuo ragionamento partendo dalla negazione della definizione di successione convergente
$AA epsilon>0 EE N in NN: |a_n-c|=N
cioè
$EE epsilon_0>0: AA n in NN$ si ha $|a_n-c|>=epsilon_0

e dovrei capire quali ipotesi mi permettono di introdurre la sottosuccessione

[Fioravante Patrone1]

"NOKKIAN80":
supponiamo che io voglia negare l'affermazione: $a_n->c in RR$ per $n->+oo$
potrei arrivare al tuo ragionamento partendo dalla negazione della definizione di successione convergente
$AA epsilon>0 EE N in NN: |a_n-c|=N
cioè
$EE epsilon_0>0: AA n in NN$ si ha $|a_n-c|>=epsilon_0

e dovrei capire quali ipotesi mi permettono di introdurre la sottosuccessione

vedo che sei restio a credere a quanto dice Luca.Lussardi

dovresti piuttosto capire che la negazione di:
$AA epsilon>0 EE N in NN: |a_n-c|=N

NON è:
$EE epsilon_0>0: AA n in NN$ si ha $|a_n-c|>=epsilon_0

per vederlo, basta prendere l'esempio già fatto da Luca. Lussardi...

[Mega-X]

E' estate, e collegandomi da una rete wireless non protetta (che serva da lezione a chi fa questi errori ) e dopo un pò di tempo che non mi faccio vedere (sto studiando fisica ), e vi chiedo una cosa (ovviamente attinente all'argomento):

se non faccio errori il problema dice che se (includendo il fatto delle funzioni continue, compatti, ecc ecc.)

$lim_(x->x_0) f(x) = f(x_0)$ allora deve essere $lim_(y->y_0)f^(-1)(y) = f^(-1)(y_0)$

ponendo $x=f^(-1)(y)$ e $x_0=f^(-1)(y_0)$ (1) (e possiamo porre queste 2 uguaglianze per via delle condizioni di invertibilità della $f(x)$ in tutto $K$) possiamo riscrivere (SCRIVENDO TUTTI I PASSAGGI e sempre se non faccio errori) l'ultimo limite come

$lim_(f^(-1)(x)->f^(-1)(x_0))f^(-1)(x) = f^(-1)(x_0)$

tenendo conto della (1)

$lim_(y->y_0)y=y_0$ che è un uguaglianza ovviamente valida (per via della compattezza (dell'insieme $f(K)$ intendo) e della continuità della funzione identità $f(y) = y$) questo limite, e pertanto e valida l'uguaglianza del limite $lim_(y->y_0)f^(-1)(y) = f^(-1)(y_0)$

ora chiedo a Luca Lussardi e a Fioravante se sono abbastanza meritevole da mettere il tanto agognato QED in calce alla mia dimostrazione (che vuole essere da esempio per NOKKIAN80 ovviamente ^^)

Ciauz (ci rivedremo a fine estate in giro su sto benedetto forum.. )

Mega-X

[Luca.Lussardi]

Io non ho capito molto della tua dimostrazione, devi essere più chiaro a scrivere le cose.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Perdonate l'intrusione. Mi sembra strano che nessuno lo abbia detto: c'è una dimostrazione più immediata che non fa uso delle successioni e che, soprattutto, generalizza il problema a qualunque spazio topologico.

[Fioravante Patrone1]

io, personalmente, perdono

noto però che la domanda era specifica e riguardava un dettaglio specifico di una specifica dimostrazione
che un teorema si possa dim in tanti modi (magari anche a seconda del contesto in cui ci si pone) non è cosa nuova
comunque, a NOKKIAMBO magari potrebbe interessare

quanto alla "dim" di Mega-X, lo invito caldamente a curare la precisione (insomma, praticamente lo stesso commento di Luca.Lussardi)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ah

Sì è vero.

In particolare, Mega-X, dov'è che usi l'ipotesi di compattezza?

[Sk_Anonymous]

fioravante: sei troppo severo

luca.lussardi: sto cercando di sforzarmi di comunicare con persone come te che mangiano a colazione queste cose, e apprezzo il tuo sforzo di venirmi incontro.

forse ho una visione troppo, come dire, filosofica della matematica, e anche se a volte sono costretto ad andare avanti nello studio con qualche dubbio latente, mi sentivo in grado di poter capire questa sottigliezza.
dunque dalla mia domanda iniziale, il nodo della questione è questo:

come si deduce la negazione di una certa affermazione, scommetto che bisogna conoscere ancora più a fondo la questione.

ad esempio con i miei strumenti, ancora molto poveri e rozzi, mi sembra una buona bozza di partenza quella che ho indicato sopra... invece fioravante mi fa capire che sono partito del tutto con il piede sbagliato

fioravante mi fa notare che non specifico il contesto in cui ci troviamo: purtroppo ha ragione perchè quest'argomento viene trattato in modi completamente diversi su altri testi, ad es il gilardi che non nomina affatto il concetto di insiemi compatti; io, per adesso, mi sto abituando al testo della dal passo e mi ci trovo benissimo e al pensiero che analisi 2 la devo fare sul gilardi mi prende una colica... [ecc]

la spiegazione di mega-x la devo analizzare meglio ma a prima vista mi sembra solo mostrato le conseguenze del fatto che la funzione è definita su un insieme compatto e che è continua e invertibile in tale insieme

[Fioravante Patrone1]

"NOKKIAN80":fioravante: sei troppo severo

Un prof è come un medico: i pazienti di un medico troppo buono muoiono più facilmente
Fuor di metafora, a me sembrava (e sembra) che tu non facessi il necessario sforzo di comprensione di quanto diceva Luca.Lussardi e invece continuassi ad andare "per la tua strada".
Guarda che nell'esempietto di Luca.Lussardi trovi già tutto. Anche...

"NOKKIAN80":come si deduce la negazione di una certa affermazione, scommetto che bisogna conoscere ancora più a fondo la questione.

...toccare con mano dove è sbagliato il modo che tu hai usato per "negare" la def di limite

"NOKKIAN80":fioravante mi fa notare che non specifico il contesto in cui ci troviamo

noooo! Non mi rivolgevo a te. Criticavo il post di Martino! Ceco di essere unifomemente cattivo.

"NOKKIAN80":ad es il gilardi che non nomina affatto il concetto di insiemi compatti; io, per adesso, mi sto abituando al testo della dal passo e mi ci trovo benissimo e al pensiero che analisi 2 la devo fare sul gilardi mi prende una colica... [ecc]

glielo dirò, a Gianni. Magari si commuove

[_Tipper]

"Fioravante Patrone":Un prof è come un medico: i pazienti di un medico troppo buono muoiono più facilmente

Bella questa...

[Fioravante Patrone1]

"Tipper":
Bella questa...

Carina, nevvero?
Ma ne sono ben convinto. Un buon "maestro" deve essere anche severo, se necessario. Esattamente come un buon padre, o un buon medico.
Quello che è stupido è digrignare i denti così, per sport. Abitudine che è troppo diffusa.

[Luca.Lussardi]

Vediamo di scavare fino alla fine allora.

Limite di successione: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\nu \in \NN$ tale che per ogni $n >\nu$ si ha $|x_n-l|<\varepsilon$. Ora cerchiamo di negare per bene tale affermazione.

[Sk_Anonymous]

(Grazie ragazzi!!)

allora. partiamo da l'esempio di luca:

sia ${a_n}sube{0,1}$, $P={n in NN:n $ è pari$}, D={n in NN: n $ è dispari$}
$a_n:={(0 . ninP ),(1 . ninD):}

supponiamo che vogliamo mostrare che a_n non tende a zero per n che tende a più infinito
allora non è vero che:
$AA epsilon>0 EE N in NN : |a_n|=N

preso infatti $epsilon=1/2$ non esiste alcun N naturale t.c. $|a_n|
vediamo che falla c'è nella mia negazione:
$EE epsilon_0 >0 : AA N in NN$ si ha $|a_n|>=epsilon_0
effettivamente quest'esempio è ad hoc, infatti in questo caso non esiste alcun $epsilon_0>0$ verificante la condizione
scartiamo a priori l'eventualità di affermare che non esiste alcun epsilon, perchè ciò non è valido in generale

però mi viene in mente una questione preliminare
affermare che una successione non è convergente implica che la successione è divergente oppure limitata definitivamente...

IMPORTANTE: secondo voi è indispensabile introdurre la sottosuccessione per affermare che la succ non converge??

[Fioravante Patrone1]

"NOKKIAN80":
però mi viene in mente una questione preliminare
affermare che una successione non è convergente implica che la successione è divergente oppure limitata definitivamente...

rispondo solo a questa "questione preliminare"
la risposta è no

prendi una successione che per $n$ pari vale $1$ e per $n$ dispari vale $n$
non è convergente, ma non è né divergente né limitata definitivamente

[Luca.Lussardi]

Ma perchè non vuoi seguire la logica? Invece delle parole la logica "scritta ad occhi chiusi" è uno strumento formidabile a volte.

Allora: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \NN$ tale che per ogni $n >N$ si ha $|a_n-l|<\varepsilon$.
Negazione: esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni $N \in \NN$ esiste $n(N)$ tale per cui ogni volta che si ha $n(N)>n$ vale $|a_n-l|\geq \varepsilon$.

Ecco che la sottosuccessione appare "magicamente" da sola.

[Mega-X]

ok ho editato il post che avevo fatto prima riscrivendo i passaggi mancanti, anche se mi rendo conto che ho sbagliato qualche (magari qualche ) cosa nella dimostrazione, quindi chiedo scusa a NOKKIAN80 per aver occupato spazio nel suo post, e chiedo sempre a lussardi e a fioravante se ho dimostrato bene ciò che dovevo dimostrare..

[Sk_Anonymous]

"Mega-X": quindi chiedo scusa a NOKKIAN80 per aver occupato spazio nel suo post,

ma stai scherzando????? ti ringrazio fermamente per il tuo contributo
anzi mi sembra prezioso, se ho riconosciuto bene quello che volevi dire

(ragazzi non stiamo sulla difensiva!)