DETTAGLIO DIMOSTRAZIONE
teorema
sia $K sube RR^m$ compatto e $f:K->RR^n$ continua e invertibile in K. Allora l'inversa $f^(-1)$ è continua nel suo dominio $f(K)$
dim
per dimostrare la continuità della funzione $f^(-1):f(K)->K$ è sufficiente dimostrare che, preso un punto non isolato $yinf(K)$ e una successione ${y_k}subef(K)$ t.c. $y_k ->y$ per $k->+oo$, si ha
$x_k:=f^(-1)(y_k)->f^(-1)(y)
supponiamo, per assurdo che $x_k$ non tenda a $f^(-1)(y)$ quindi per definizione di limite $EE epsilon_0>0 EE$ una sottosuccessione ${x_(l_k)}$ di ${x_k}$ t.c.
$||x_(l_k)-f^(-1)(y)||>=epsilon_0 AAkinNN
ecc..........
domanda: che bisogno c'è di prendere una sottosuccessione nell'ultimo passaggio?
sia $K sube RR^m$ compatto e $f:K->RR^n$ continua e invertibile in K. Allora l'inversa $f^(-1)$ è continua nel suo dominio $f(K)$
dim
per dimostrare la continuità della funzione $f^(-1):f(K)->K$ è sufficiente dimostrare che, preso un punto non isolato $yinf(K)$ e una successione ${y_k}subef(K)$ t.c. $y_k ->y$ per $k->+oo$, si ha
$x_k:=f^(-1)(y_k)->f^(-1)(y)
supponiamo, per assurdo che $x_k$ non tenda a $f^(-1)(y)$ quindi per definizione di limite $EE epsilon_0>0 EE$ una sottosuccessione ${x_(l_k)}$ di ${x_k}$ t.c.
$||x_(l_k)-f^(-1)(y)||>=epsilon_0 AAkinNN
ecc..........
domanda: che bisogno c'è di prendere una sottosuccessione nell'ultimo passaggio?
Risposte
anzitutto volevo fare l'annuncio che
la professoressa Roberta Dal Passo è morta a Roma all'età di (più o meno) 50 anni la settimana scorsa. i funerali si sono svolti venerdì scorso.
(la notizia mi è giunta da S.Ingrosso)
a nome di tutta la facoltà di ingegneria, manifesto il mio profondo dispiacere
la professoressa Roberta Dal Passo è morta a Roma all'età di (più o meno) 50 anni la settimana scorsa. i funerali si sono svolti venerdì scorso.
(la notizia mi è giunta da S.Ingrosso)
a nome di tutta la facoltà di ingegneria, manifesto il mio profondo dispiacere
"Luca.Lussardi":
Ma perchè non vuoi seguire la logica? Invece delle parole la logica "scritta ad occhi chiusi" è uno strumento formidabile a volte.
Allora: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \NN$ tale che per ogni $n >N$ si ha $|a_n-l|<\varepsilon$.
Negazione: esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni $N \in \NN$ esiste $n(N)$ tale per cui ogni volta che si ha $n(N)>n$ vale $|a_n-l|\geq \varepsilon$.
Ecco che la sottosuccessione appare "magicamente" da sola.
in questi giorni ho sviluppato qualche risultato "penoso", che non avevo il coraggio di postare. vi dico solo che ero arrivato a pensare che se una successione è convergente è anche limitata... e quindi per negare la convergenza della successione era sufficiente negare la sua limitatezza: ma anche una successione irregolare è limitata, e quindi così facendo scartavo questa eventualità. inoltre, se ce la volevamo mandare bene, il risultato non era molto utile al nostro scopo primario (la dimostrazione di Quel teorema)
grazie mille... ci devo riflettere un po'.
prima di questa discussione mi domandavo se avevo qualche lacuna in logica. adesso ne sono convinto
nel frattempo posterò una domanda su un limite di una funzione di due variabili
"NOKKIAN80":
anzitutto volevo fare l'annuncio che
la professoressa Roberta Dal Passo è morta a Roma all'età di (più o meno) 50 anni la settimana scorsa. i funerali si sono svolti venerdì scorso.
(la notizia mi è giunta da S.Ingrosso)
a nome di tutta la facoltà di ingegneria, manifesto il mio profondo dispiacere
Sapevo che era molto malata. Anche se non ho mai avuto occasione di conoscerla personalmente, mi spiace moltissimo.
Mi pare di aver capito che fosse molto impegnata e brava didatticamente e questo, se possibile, rattrista ancora di più per la perdita.
u-hu
(naturalmente stavo scherzando l'altra volta su gilardi, spero che non lo conosci veramente, altrimenti mi toccherà cominciare a darti del lei!!)
ho letto da qualche parte che si occupava dell'applicazione di una misteriosa equazione di cui non ricordo il nome a dei materiali ferromagnetici...[??]
l'equazione di Landau-Lifschitz-Gilbert
http://www.dmsa.unipd.it/tmr/meetingRoma98/node4.html
(naturalmente stavo scherzando l'altra volta su gilardi, spero che non lo conosci veramente, altrimenti mi toccherà cominciare a darti del lei!!)
ho letto da qualche parte che si occupava dell'applicazione di una misteriosa equazione di cui non ricordo il nome a dei materiali ferromagnetici...[??]
l'equazione di Landau-Lifschitz-Gilbert
http://www.dmsa.unipd.it/tmr/meetingRoma98/node4.html
"NOKKIAN80":
ero arrivato a pensare che se una successione è convergente è anche limitata...
il che è vero...
quanto a Gilardi, vedi ad esempio:
http://www.diptem.unige.it/patrone/divu ... enatico_06
ciao
Credo invece che Fioravante conosca bene Gilardi, e pure io, visto che spesso lavoro nello stesso dipartimento....
complimenti, meriti del tutto la mia ammirazione e il mio rispetto, (anche se lo dovevo immaginare che eravate più forti della norma; mi sono anche divertito a leggere la tesi di luca.lussardi anche se non ci ho capito molto) tuttavia credo che non ti darò del lei, perchè non sei qui per questo, e mi viene brutto darlo agli assistenti dei miei professori (anche se lo faccio) che siamo "quasi" coetanei.
Ad ogni modo credo che dovrò abituarmici al Gilardi, in fin dei conti non è un libro da disprezzare. Una grossa difficoltà che ho trovato (e che sto trovando) nello studiare è quella di cambiare libro. Ritengo infatti necessario padroneggiare la materia con un buon testo, prima di approfondire e criticare le altre letterature (mentre uno come voi mi spingerebbe a studiare su entrambi i libri).
Ho paura però che ci sia un buco tra analisi 1 e la 2, in quanto alla due appaiono improvvisamente queste "misteriore" equazioni differenziali e il Gilardi fa subito esempi di funzioni in 7 variabili reali a valori vettoriali. Secondo me il Gilardi parla proprio un'altra lingua.
Ad ogni modo credo che dovrò abituarmici al Gilardi, in fin dei conti non è un libro da disprezzare. Una grossa difficoltà che ho trovato (e che sto trovando) nello studiare è quella di cambiare libro. Ritengo infatti necessario padroneggiare la materia con un buon testo, prima di approfondire e criticare le altre letterature (mentre uno come voi mi spingerebbe a studiare su entrambi i libri).
Ho paura però che ci sia un buco tra analisi 1 e la 2, in quanto alla due appaiono improvvisamente queste "misteriore" equazioni differenziali e il Gilardi fa subito esempi di funzioni in 7 variabili reali a valori vettoriali. Secondo me il Gilardi parla proprio un'altra lingua.
Non ho mai chiesto a nessuno di darmi del lei; l'unica cosa che mi dà fastidio su questo argomento è quando io do del lei agli studenti e loro mi rispondono con il tu, ma a parte questo...
Quanto al Gilardi nemmeno io ho studiato sul Gilardi, non ho studiato a Pavia, ma a Brescia, però è un ottimo testo, ricco di esempi e controesempi. Credo che il Gilardi sia lo stampo, grosso modo, dell'insegnamento dell'Analisi Matematica nelle Università del nord-Italia.
Quanto al Gilardi nemmeno io ho studiato sul Gilardi, non ho studiato a Pavia, ma a Brescia, però è un ottimo testo, ricco di esempi e controesempi. Credo che il Gilardi sia lo stampo, grosso modo, dell'insegnamento dell'Analisi Matematica nelle Università del nord-Italia.
Il Gilardi non spiega esplicitamente le deduzioni più "semplici e immediate " ; vuole che ci arrivi da solo.
Spiega invece con controesempi e dettagli le considerazioni più profonde e sottili : almeno così è , secondo me , per Analisi 3.
Edit : sistemato il testo .
Spiega invece con controesempi e dettagli le considerazioni più profonde e sottili : almeno così è , secondo me , per Analisi 3.
Edit : sistemato il testo .
"Camillo":
Il Gilardi non spiega esplicitamente le deduzioni più "semplici e immediate " ; vuole che ci arrivi da solo.
Spiega invece con controesempi e dettagli le considerazioni più profonde e sottili : almeno così è , secondo me , per Analisi 3.
tanto rendo leggibile il testo di Camillo
non ho mai letto alcun libro di Gilardi, ma se la scelta che fa è quella descritta da Camillo, è un'ottima scelta, a parer mio
Da notare: (onde evitare mazzate in testa da parte di fioravante e di lussardi verso me 
) ho corretto un errore GRAVE (e dico GRAVE) nella mia dimostrazione
avevo detto che $y = f(x)$ è la funzione identità (:shock:) invece di $y = f(y)$
) ho corretto un errore GRAVE (e dico GRAVE) nella mia dimostrazione avevo detto che $y = f(x)$ è la funzione identità (:shock:) invece di $y = f(y)$
Continuo a non capire la tua dimostrazione, temo in realtà che usi, tra le righe, ciò che in realtà vuoi dimostrare.
Un appunto: quando hai scritto $\lim_(y \to y_0)y=y_0$, questo discende solo dalla continuità della funzione identica, la compattezza non c'entra niente.
Un appunto: quando hai scritto $\lim_(y \to y_0)y=y_0$, questo discende solo dalla continuità della funzione identica, la compattezza non c'entra niente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo