Determinazione base di un sottospazio W

[julio1397]

Salve a tutti ragazzi in un esercizio mi veniva richiesto di determinare una base che genera il sottospazio:

W = <$((1,2),(1,0))$ ; $((2,4),(3,1))$;$((-2,4),(-2,-2))$;$((0,0),(1,3))$>

Avevo pensato di riportare sotto forma di matrice i vettori e utilizzando il metodo di Gauss-Jordan ottenere un sistema di equazioni linearmente indipendenti che potevano formare una base per quello spazio; secondo voi è corretta questa impostazione?

Ringrazio tutti per le risposte.

[_prime_number]

Ciao, non riesco a leggere le tue formule, credo che il tuo errore nello scriverle sia stato anteporre al simbolo di dollaro il backslash.
Se ho capito bene, comunque, hai $W$ sottospazio delle matrici $2x2$. Io scriverei le matrici come vettori di $\mathbb{R}^4$, le metterei come colonne di una nuova matrice $A$ e ne calcolerei il rango. Esso corrisponde al numero esatto di vettori linearmente indipendenti dell'insieme. Inoltre se consideri il minore non nullo che hai usato per ottenere il rango e prendi i vettori "che vi appartengono" cioè che hanno alcuni elementi in questo minore, essi saranno proprio la base che cerchi. Decisamente più veloce come metodo.

Paola

[julio1397]

Ciao inanzitutto grazie mille per la risposta. Calcolando il rango della matrice segue che r(A) = 4 ; quindi i vettori della matrice sono tutti linearmenti indipendenti segue che banalmente una base per il mio sottospazio W è formata da i vettori di coordinate in $RR^4$ $(1,2,1,0)$,$(2,4,3,1)$;$(-2,4,-2,2)$;$(0,0,1,3)$. La domanda che mi sorge ora è che la matrice avendo rango pieno se avessi usato Gauss-Jordan per ridurre la matrice a scala in maniera tale da potermi calcolare il rango, considerando i vettori presi per righe della matrice a scala ottenevo un'altra base di W ?

[_prime_number]

Se mettevi i vettori come colonne della matrice allora direi di no, se li mettevi come righe sì. Infatti nel secondo caso durante la riduzione a scala sostanzialmente fai delle operazioni consentite sui vettori (li moltiplichi per scalari e sommi tra loro, quindi chiaramente lasci lo spazio lineare da essi generato invariato, perché fai operazioni lineari). Nel primo caso invece le operazioni che fai lasciano sì invariato il rango ma non l'insieme di vettori.
Spero di essermi spiegata...

Paola