Determinare vettore appartenente allo span

[kekkostrada]

Buongiorno.
Mi sono imbattuto in questo esercizio:
siano $ v_1= ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) , v_2 = ( ( 1 ),( -1 ),( o ) ) $ $ in R^3 $ determinare un vettore non nullo $ X in R^3 $
tale che $ X !in Span(v_1), X !in Span(v_2), X in Span(v_1,v_2) $
L'ho risolto in questo modo:
ho calcolato il sistema associato a : $ alpha ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) + beta ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) = ( ( x ),( y ),( z ) ) $
ho imposto $ alpha = 1, beta=1 $ e come risultato mi sono ritrovato $ x=2; y=0; z=1 $ facendo la verifica cioè $ alpha (( 1 ), (1), (1)) = ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e anche $ beta (( 1 ), (-1), (0)) = ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ mi risulta che non appartiene a tali span, quindi l'esercizio l'ho svolto correttamente giusto?

[donald_zeka]

$v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti, qualunque loro combinazione lineare del tipo $u=alphav_1+betav_2$, con $alpha,beta!=0$ non appartiene né allo span di $v_1$ né a quello di $v_2$

[kekkostrada]

Quindi se due vettori sono linearmente indipendenti qualunque vettore va bene?

[donald_zeka]

No, un vettore $u$ appartiene allo span di $v_1$ e $v_2$ se si può scrivere come $u=alphav_1+betav_2$, supponiamo ora che $v_1$ e $v_2$ siano linearmente indipendenti, come nel tuo caso, e dimostriamo che se $alpha$ e $beta$ sono entrambi diversi da $0$, allora il vettore $u=alphav_1+betav_2$ non appartiene né allo span di $v_1 $(ossia non si può scrivere come $u=gammav_1$) né allo span di $v_2$ (ossia non si può scrivere come $u=gammav_2$), infatti:

$u=alphav_1+betav_2$

COn alpha e beta entrambi diversi da 0, supponiamo allora per assurdo che u appartenga allo span di v_1, allora si può scrivere:

$u=gammav_1$

E pertanto:

$alphav_1+betav_2=gammav_1$,

$(alpha-gamma)v_1+betav_2=0$

Sia $alpha-gamma=delta$

abbiamo:

$deltav_1+betav_2=0$

Ma $v_1 $ e $v_2$ sono linearmente indipendenti, e quindi formano il vettore nullo solo con $delta=beta=0$, ma noi si era posto come ipotesi che $beta!=0$, e quindi è un assurdo e pertanto la tesi è dimostrata.

Quindi se due vettori sono indipendenti, va bene qualsiasi vettore che si scrive come $u=alphav_1+betav_2$ con $alpha$ e $beta$ entrambi diversi da $0$, nel tuo caso hai posto $alpha=beta=1$, ed essendo entrambi diversi da $0$, quel vettore ottenuto non appartiene né allo span di $v_1$ né a quello di $v_2$

[kekkostrada]

perfetto, allora l'esercizio l'ho risolto correttamente giusto?

[donald_zeka]

Si è giusto, ma diciamo che se fosse stato un esercizio d'esame, dimostrare il caso generale come ho fatto io avrebbe fatto tutt'altro effetto, diciamo che tu hai preso a caso $alpha=beta=1$ e hai verificato che verificasse ciò che il problema richiedeva, che non è sbagliato ma di certo è poco elegante