Determinare una base e la dimensione di Ker(f)
Salve ragazzi sto avendo un problema con questo esercizio, spero possiate aiutarmi.
Sia f: R4-->R4 l'endomorfismo definito da $f((x,y,z,t))=(-2x+4y-2t, -x+2y-t, y+z+t, z-2y+t)$
Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f).
Allora costruisco la matrice e mi trovo che il rango è 3, quindi dim Im(f)=3 e la dim Ker(f)= 4-3=1
Una base di Im(f) è ad esempio costituita dalle colonne 2,3,4 della matrice.
Ora quando vado a calcolare il Ker(f) non riesco a capire se devo mettere tutte e 4 le equazioni a sistema e porle uguali a 0 e non so come effettuare la sostituzione...sapete aiutarmi ?
Sia f: R4-->R4 l'endomorfismo definito da $f((x,y,z,t))=(-2x+4y-2t, -x+2y-t, y+z+t, z-2y+t)$
Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f).
Allora costruisco la matrice e mi trovo che il rango è 3, quindi dim Im(f)=3 e la dim Ker(f)= 4-3=1
Una base di Im(f) è ad esempio costituita dalle colonne 2,3,4 della matrice.
Ora quando vado a calcolare il Ker(f) non riesco a capire se devo mettere tutte e 4 le equazioni a sistema e porle uguali a 0 e non so come effettuare la sostituzione...sapete aiutarmi ?
Risposte
per determinare il $Ker$
ti scrivo l'esempio che l'esercitatore da noi aveva fatto. E mi è stato davvero utile.
sia il sistema lineare omogeneo [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 &-1& 0& 0\\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 0
\end{array}
\right)[/tex]
e sia $f: RR^3 \to RR^3$ lineare $ f( ( x ),( y ),( z ) )=( ( x-y ),( x+2y+z ),( 3y+z ) ) $
il $Ker f$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $A|b$
ti scrivo l'esempio che l'esercitatore da noi aveva fatto. E mi è stato davvero utile.
sia il sistema lineare omogeneo [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 &-1& 0& 0\\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 0
\end{array}
\right)[/tex]
e sia $f: RR^3 \to RR^3$ lineare $ f( ( x ),( y ),( z ) )=( ( x-y ),( x+2y+z ),( 3y+z ) ) $
il $Ker f$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $A|b$
Si, devi fare il sistema di equazioni tutte uguali a 0, come ti hanno già detto sopra.
Puoi ridurre la matrice per righe con le operazioni elementari per riga cosi la semplifichi e solo a quel punto effettui la sostituzione.
Puoi ridurre la matrice per righe con le operazioni elementari per riga cosi la semplifichi e solo a quel punto effettui la sostituzione.
ho capito ma ho problemi proprio con la sostituzione...quanti parametri devo usare ?
Mi trovo questo sistema
$\{(-2x + 4y - 2t = 0),(y + z + t = 0),(-2y + z + t = 0):}$
Mi trovo questo sistema
$\{(-2x + 4y - 2t = 0),(y + z + t = 0),(-2y + z + t = 0):}$
"mariobres":
ho capito ma ho problemi proprio con la sostituzione...quanti parametri devo usare ?
Mi trovo questo sistema
$\{(-2x + 4y - 2t = 0),(y + z + t = 0),(-2y + z + t = 0):}$
bé potresti già dire che $z+t=-y$ quindi sostituisci nella terza equazione $-2y-y=0\to y=0$
ok quindi hai ${(-2x+4y-2t=0),(z+t=-y),(y=0):}$ .. continua tu
ok dunque allora mi trovo questo sistema
$\{(x + t = 0),(z + t = 0),(y = 0):}$
quindi posso porre $t=a$ e trovarmi che
$\{(x = -a),(y = 0),(z = -a),(t = a):}$
e quindi il Ker è (-1,0,-1,1) ??
da qui poi come mi trovo una base ?
P.s Grazie per l'aiuto che mi stai dando !
$\{(x + t = 0),(z + t = 0),(y = 0):}$
quindi posso porre $t=a$ e trovarmi che
$\{(x = -a),(y = 0),(z = -a),(t = a):}$
e quindi il Ker è (-1,0,-1,1) ??
da qui poi come mi trovo una base ?
P.s Grazie per l'aiuto che mi stai dando !
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