Determinare una base a ventaglio
buonasera a tutti.Mi sono trovato di fronte a questo tipo di esercizio:
Sia A=$((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))$; determinare una base di $RR^3$ che sia a ventaglio.
Purtroppo una volta trovati gli autovalori e aver visto che la matrice non è diagonalizzabile non saprei come proseguire l'esercizio.
Inoltre che legame c'è fra diagonalizzabilità e triangolabilità?
Vi ringrazio per la disponibilità.
Sia A=$((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))$; determinare una base di $RR^3$ che sia a ventaglio.
Purtroppo una volta trovati gli autovalori e aver visto che la matrice non è diagonalizzabile non saprei come proseguire l'esercizio.
Inoltre che legame c'è fra diagonalizzabilità e triangolabilità?
Vi ringrazio per la disponibilità.
Risposte
La base $B=(v_1,\ldots,v_n)$ dello spazio $V$ è a ventaglio per l'applicazione lineare $L:V \to V$ se e solo se la matrice associata ad $L$ rispetto alla base $B$ è triangolare superiore.
Se questo è vero, te la cavi abbastanza facilmente vista la struttura particolarmente semplice di $A$.
[senza scomodare autovalori e diagonalizzabilità]
Se questo è vero, te la cavi abbastanza facilmente vista la struttura particolarmente semplice di $A$.
[senza scomodare autovalori e diagonalizzabilità]
@ mai_una_gioia: Fai una ricerca sul forum, all'incirca un anno fa ne parlammo piuttosto diffusamente. Se non trovi nulla dimmelo che cerco io.
Per dissonance:effettivamente avevo già visto una domanda simile alla mia ma, la risposta data, da un certo Dorian, non è altro che la definizione...e fin li più o meno c'ero arrivato.Il mio problema è proprio di svolgere un esercizio come quello proposto.Mi basterebbe una procedura, un consiglio per iniziare perchè non so da che parte rifarmi. grazie.
Ah comunque, come dice elvis, in questo caso si può risolvere ad occhio. Se un endomorfismo di $RR^3$ è rappresentato, nella base canonica $(e_1 , e_2, e_3)$, da una matrice $M$, da cosa sarà rappresentato in una base permutata come $(e_2, e_3, e_1)$? Prova a rispondere, almeno euristicamente, a questa domanda e poi risolvi questo esercizio.
@maiunagioia.
ok, dissonance ti ha svelato il trucco: nel tuo caso, basta invertire l'ordine dei vettori della base canonica per ottenere una base a ventaglio (in quanto - rispetto a questa nuova base - la matrice è triangolare superiore).
Voglio comunque rispondere alla tua ultima domanda di carattere un po' più euristico.
Come abbiamo già notato, possedere una base a ventaglio equivale ad essere triangolabile (ovvio, basta tener ben presente le rispettive definizioni!).
Rispetto a quest'ultima, la diagonalizzabilità è una condizione molto più restrittiva: chiaramente, se $M$ è una matrice/endomorfismo diagonalizzabile, è senz'altro triangolabile (!!), ma il viceversa è falso e un controesempio è fornito dalla matrice $A$ da te postata.
Se vuoi scavare più a fondo, puoi addirittura notare che essere triangolabile equivale ad ammettere tutti gli autovalori nel campo. Riassumendoti tutto in un simpatico elenco...
Sia $L:V \to V$ endomorfismo di $V$, spazio vettoriale sul campo $K$. Le seguenti sono equivalenti:
(i) $L$ triangolabile;
(ii) esiste una base a ventaglio per $L$;
(iii) esiste una base rispetto alla quale la matrice associata ad $L$ è triangolare superiore;
(iv) $L$ ha tutti gli autovalori in $K$, ovvero il suo polinomio caratteristico si decompone in $K$ nel prodotto di fattori lineari.
In particolare, penso ti possa giovare notare che
condizione (iv)
+
"per ogni autovalore, le molteplicità algebrica e geometrica sono uguali"
=
diagonalizzabilità
ok, dissonance ti ha svelato il trucco: nel tuo caso, basta invertire l'ordine dei vettori della base canonica per ottenere una base a ventaglio (in quanto - rispetto a questa nuova base - la matrice è triangolare superiore).
Voglio comunque rispondere alla tua ultima domanda di carattere un po' più euristico.
Come abbiamo già notato, possedere una base a ventaglio equivale ad essere triangolabile (ovvio, basta tener ben presente le rispettive definizioni!).
Rispetto a quest'ultima, la diagonalizzabilità è una condizione molto più restrittiva: chiaramente, se $M$ è una matrice/endomorfismo diagonalizzabile, è senz'altro triangolabile (!!), ma il viceversa è falso e un controesempio è fornito dalla matrice $A$ da te postata.
Se vuoi scavare più a fondo, puoi addirittura notare che essere triangolabile equivale ad ammettere tutti gli autovalori nel campo. Riassumendoti tutto in un simpatico elenco...
Sia $L:V \to V$ endomorfismo di $V$, spazio vettoriale sul campo $K$. Le seguenti sono equivalenti:
(i) $L$ triangolabile;
(ii) esiste una base a ventaglio per $L$;
(iii) esiste una base rispetto alla quale la matrice associata ad $L$ è triangolare superiore;
(iv) $L$ ha tutti gli autovalori in $K$, ovvero il suo polinomio caratteristico si decompone in $K$ nel prodotto di fattori lineari.
In particolare, penso ti possa giovare notare che
condizione (iv)
+
"per ogni autovalore, le molteplicità algebrica e geometrica sono uguali"
=
diagonalizzabilità
Torna!!!si effettivamente era più facile del previsto!grazie mille!
Grazie per la vostra spiegazione mi è stata molto utile....vorrei sapere invece se ho una matrice A 2x2 e l'esercizio mi chiede di determinare una base a ventaglio per L dove L(X)=AX-XA....come devo fare???grazie
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