Determinare un iniseme di generatori di uno spazio vettoriale V
Buonasera! E' la prima volta che pubblico un post su matematicamente, un sito che mi ha sempre aiutato moltissimo a risolvere i miei dubbi. Complimenti!
Ora però, in vicinanza all'esame mi sto probabilmente perdendo in un bicchier d'acqua. L'ansia sicuramente mi sta facendo fare un po' di confusione, per questo vorrei chiedere gentilmente un consiglio. Nello svolgimento degli esercizi inerenti agli spazi vettoriali, uno di essi mi richiede di determinare, una volta scelto a piacere uno spazio vettoriale, un insieme di generatori di tale spazio che però non siano una base. Inoltre, l'esercizio richiede di determinare, sempre per lo stesso spazio vettoriale scelto, un insieme di vettori linearmente indipendenti che non siano una base.
Ora, il concetto di dipendenza ed indipendenza lineare è molto chiaro, così come quello di base. Anche il concetto di insieme di generatori mi sembrava molto chiaro (so che un insieme di vettori v1...vn appartenenti a V viene definito un insieme di generatori di V se ogni v di V può essere espresso come combinazione lineare degli elementi dell'insieme generatore, cioè di v1...vn). Mi è anche chiaro come impostare la dimostrazione della combinazione lineare, ma quando arrivo ad isolare i coefficienti della combinazione per dimostrare che i vettori sono un sistema di generatori mi blocco. E poi un altro dubbio è...sulla lezione da voi pubblicata relativa agli insiemi di generatori ho letto che per dimostrare che un insieme dato di vettori rappresenta un insieme di generatori devo costruire la matrice associata a tali vettori e verificare che il rango sia massimo. Se il rango è massimo allora i vettori sono linearmente indipendenti e l'insieme dei vettori è un insieme di generatori per lo spazio vettoriale. Ma quindi, dato che questa è anche la procedura seguita per dimostrare che un insieme di vettori è una base dello spazio da essi generato, che differenza c'è tra generatori e base?
Ringrazio moltissimo per l'aiuto!
Ora però, in vicinanza all'esame mi sto probabilmente perdendo in un bicchier d'acqua. L'ansia sicuramente mi sta facendo fare un po' di confusione, per questo vorrei chiedere gentilmente un consiglio. Nello svolgimento degli esercizi inerenti agli spazi vettoriali, uno di essi mi richiede di determinare, una volta scelto a piacere uno spazio vettoriale, un insieme di generatori di tale spazio che però non siano una base. Inoltre, l'esercizio richiede di determinare, sempre per lo stesso spazio vettoriale scelto, un insieme di vettori linearmente indipendenti che non siano una base.
Ora, il concetto di dipendenza ed indipendenza lineare è molto chiaro, così come quello di base. Anche il concetto di insieme di generatori mi sembrava molto chiaro (so che un insieme di vettori v1...vn appartenenti a V viene definito un insieme di generatori di V se ogni v di V può essere espresso come combinazione lineare degli elementi dell'insieme generatore, cioè di v1...vn). Mi è anche chiaro come impostare la dimostrazione della combinazione lineare, ma quando arrivo ad isolare i coefficienti della combinazione per dimostrare che i vettori sono un sistema di generatori mi blocco. E poi un altro dubbio è...sulla lezione da voi pubblicata relativa agli insiemi di generatori ho letto che per dimostrare che un insieme dato di vettori rappresenta un insieme di generatori devo costruire la matrice associata a tali vettori e verificare che il rango sia massimo. Se il rango è massimo allora i vettori sono linearmente indipendenti e l'insieme dei vettori è un insieme di generatori per lo spazio vettoriale. Ma quindi, dato che questa è anche la procedura seguita per dimostrare che un insieme di vettori è una base dello spazio da essi generato, che differenza c'è tra generatori e base?
Ringrazio moltissimo per l'aiuto!
Risposte
Un insieme di generatori contiene una base. Una base è un insieme di generatori che è linearmente indipendente. Tieni inoltre conto che ogni insieme di generatori può essere esteso ad una base (per lo meno in dimensione finita, non ricordo se vale anche in quella infinita).
Quindi per il primo ti basta prendere una base e aggiungere vettori a caso. Per il secondo punto ti basta invece eliminare qualche elemento.
Per quanto riguarda la questione del rango, il rango deve essere uguale alla dimensione dello spazio vettoriale (è anche massimo ma non è quello il punto).
Quindi per il primo ti basta prendere una base e aggiungere vettori a caso. Per il secondo punto ti basta invece eliminare qualche elemento.
Per quanto riguarda la questione del rango, il rango deve essere uguale alla dimensione dello spazio vettoriale (è anche massimo ma non è quello il punto).
Grazie mille ad entrambi!
Sergio, chiarissima la spiegazione, grazie ancora. Due piccoli ed ultimi chiarimenti: per dimostrare che un insieme di vettori è un sistema di generatori dello spazio scelto, devo costruire la matrice in cui i vettori rappresentano le righe o possono anche rappresentare le colonne? (e poi ovviamente vado a selezionare dalla matrice non ridotta i vettori linearmente indipendenti che ho individuato nella matrice ridotta).
Inoltre, quando mi fai l'esempio di un insieme di generatori di R^3, mi dici che qualsiasi vettore v di R^3 può essere scritto come combinazione lineare di 3 dei 4 vettori individuati come generatori. Ma perché un insieme di generatori sia tale non dovrebbe valere la regola che qualsiasi vettore di R^3 si può scrivere come combinazione lineare di TUTTI i vettori individuati come sistemi generatori (è forse perché moltiplichi il vettore "escluso" dalla combinazione lineare per 0?)
Grazie ancora!!
Sergio, chiarissima la spiegazione, grazie ancora. Due piccoli ed ultimi chiarimenti: per dimostrare che un insieme di vettori è un sistema di generatori dello spazio scelto, devo costruire la matrice in cui i vettori rappresentano le righe o possono anche rappresentare le colonne? (e poi ovviamente vado a selezionare dalla matrice non ridotta i vettori linearmente indipendenti che ho individuato nella matrice ridotta).
Inoltre, quando mi fai l'esempio di un insieme di generatori di R^3, mi dici che qualsiasi vettore v di R^3 può essere scritto come combinazione lineare di 3 dei 4 vettori individuati come generatori. Ma perché un insieme di generatori sia tale non dovrebbe valere la regola che qualsiasi vettore di R^3 si può scrivere come combinazione lineare di TUTTI i vettori individuati come sistemi generatori (è forse perché moltiplichi il vettore "escluso" dalla combinazione lineare per 0?)
Grazie ancora!!
Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso rango, insomma non importa assolutamente nulla se metti le cose in riga o in colonna (a meno forse che il tuo professore abbia preferenze). Alle volte comunque conviene ragionare prima di agire. Insomma, potrebbe essere possibile ridurre l'insieme di generatori o semplificarti il lavoro in altri modi.
Grazie vict85!!
Posto anche in questa risposta l'ulteriore domanda che ho posto:
Nell'esempio di un insieme di generatori di R^3 che sergio mi ha gentilmente postato, mi indica che qualsiasi vettore v di R^3 può essere scritto come combinazione lineare di 3 dei 4 vettori individuati come generatori. Ma perché un insieme di generatori sia tale non dovrebbe valere la regola che qualsiasi vettore di R^3 si può scrivere come combinazione lineare di TUTTI i vettori individuati come sistemi generatori (è forse perché moltiplichi il vettore "escluso" dalla combinazione lineare per 0?)
Posto anche in questa risposta l'ulteriore domanda che ho posto:
Nell'esempio di un insieme di generatori di R^3 che sergio mi ha gentilmente postato, mi indica che qualsiasi vettore v di R^3 può essere scritto come combinazione lineare di 3 dei 4 vettori individuati come generatori. Ma perché un insieme di generatori sia tale non dovrebbe valere la regola che qualsiasi vettore di R^3 si può scrivere come combinazione lineare di TUTTI i vettori individuati come sistemi generatori (è forse perché moltiplichi il vettore "escluso" dalla combinazione lineare per 0?)
Chiarissimo, grazie mille.
Ultimissima cosa, dato che mi stai chiarendo un sacco di dubbi: mi riusciresti a chiarire bene la seguente affermazione?
"Un insieme di n vettori è un insieme di generatori di R^3 (il solito spazio vettoriale "scelto a piacere") se tra di loro ve ne sono tre linearmente indipendenti.
Soluzione più semplice: costruisci una matrice le cui righe siano i vettori, riduci per righe la matrice, conti le righe non nulle. Se sono tre, quegli n vettori formano un insieme di generatori di R^3 ."
Mi ha messo un po' in confusione confrontando questa affermazione con l'esempio sulle matrici che mi hai postato. In generale quindi, un insieme n di vettori è un insieme di generatori di uno spazio n sse tra di essi ve ne sono n linearmente indipendenti? Questo da cosa deriva?
Graziee!!!
Ultimissima cosa, dato che mi stai chiarendo un sacco di dubbi: mi riusciresti a chiarire bene la seguente affermazione?
"Un insieme di n vettori è un insieme di generatori di R^3 (il solito spazio vettoriale "scelto a piacere") se tra di loro ve ne sono tre linearmente indipendenti.
Soluzione più semplice: costruisci una matrice le cui righe siano i vettori, riduci per righe la matrice, conti le righe non nulle. Se sono tre, quegli n vettori formano un insieme di generatori di R^3 ."
Mi ha messo un po' in confusione confrontando questa affermazione con l'esempio sulle matrici che mi hai postato. In generale quindi, un insieme n di vettori è un insieme di generatori di uno spazio n sse tra di essi ve ne sono n linearmente indipendenti? Questo da cosa deriva?
Graziee!!!
Chiarissimo, grazie mille.
Ultimissima cosa, dato che mi stai chiarendo un sacco di dubbi: mi riusciresti a chiarire bene la seguente affermazione?
"Un insieme di n vettori è un insieme di generatori di R^3 (il solito spazio vettoriale "scelto a piacere") se tra di loro ve ne sono tre linearmente indipendenti.
Soluzione più semplice: costruisci una matrice le cui righe siano i vettori, riduci per righe la matrice, conti le righe non nulle. Se sono tre, quegli n vettori formano un insieme di generatori di R^3 ."
Mi ha messo un po' in confusione confrontando questa affermazione con l'esempio sulle matrici che mi hai postato. In generale quindi, un insieme n di vettori è un insieme di generatori di uno spazio n sse tra di essi ve ne sono n linearmente indipendenti? Questo da cosa deriva?
Graziee!!!
Ultimissima cosa, dato che mi stai chiarendo un sacco di dubbi: mi riusciresti a chiarire bene la seguente affermazione?
"Un insieme di n vettori è un insieme di generatori di R^3 (il solito spazio vettoriale "scelto a piacere") se tra di loro ve ne sono tre linearmente indipendenti.
Soluzione più semplice: costruisci una matrice le cui righe siano i vettori, riduci per righe la matrice, conti le righe non nulle. Se sono tre, quegli n vettori formano un insieme di generatori di R^3 ."
Mi ha messo un po' in confusione confrontando questa affermazione con l'esempio sulle matrici che mi hai postato. In generale quindi, un insieme n di vettori è un insieme di generatori di uno spazio n sse tra di essi ve ne sono n linearmente indipendenti? Questo da cosa deriva?
Graziee!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo