Determinare quando l'omomorfismo è diagonalizzabile
Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto sulla diagonalizzabilità di applicazioni lineari e matrici.
Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà:
Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k.
L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1).
Una volta fatto ciò mi trovo gli autovalori andando a sottrarre lambda sulla diagonale principale e trovare il polinomio caratteristico. Una volta trovate le radici del polinomio caratteristico dovrei trovare le basi di autovettori ma, su questo punto ho un dubbio.
Sugli appunti del professore c'è un corollario che dice:
"Se gli autovalori di un endomorfimo f sono tanti quanti n=dim V, ovvero il polinomio caratteristico di f ha esattamente n radici distinte, allora f è diagonalizzabile laddove i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per f."
Sui vari forum ho trovato che devo definire la molteplicità algebrica e geometrica ma, negli appunti non ne parla proprio.
Quindi, vi chiedo, una volta trovate le radici del polinomio caratteristico, e queste sono dello stesso numero della dimensione della matrice allora la matrice è diagonalizzabile, cosa devo fare? Come faccio a definire il parametro K?
Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà:
Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k.
L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1).
Una volta fatto ciò mi trovo gli autovalori andando a sottrarre lambda sulla diagonale principale e trovare il polinomio caratteristico. Una volta trovate le radici del polinomio caratteristico dovrei trovare le basi di autovettori ma, su questo punto ho un dubbio.
Sugli appunti del professore c'è un corollario che dice:
"Se gli autovalori di un endomorfimo f sono tanti quanti n=dim V, ovvero il polinomio caratteristico di f ha esattamente n radici distinte, allora f è diagonalizzabile laddove i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per f."
Sui vari forum ho trovato che devo definire la molteplicità algebrica e geometrica ma, negli appunti non ne parla proprio.
Quindi, vi chiedo, una volta trovate le radici del polinomio caratteristico, e queste sono dello stesso numero della dimensione della matrice allora la matrice è diagonalizzabile, cosa devo fare? Come faccio a definire il parametro K?
Risposte
...a questo punto ti converrebbe leggere il capìtolo 10 di queste mie note on-line.
Se non conosci le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori: questo esercizio è impossibile da risolvere!
Se non conosci le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori: questo esercizio è impossibile da risolvere!
Ma io so cosa siano le molteplicità algebriche e geometriche ma, come scritto nel primo messaggio, avendo letto questo corollario che ti ho scritto, e poi i vari forum sono praticamente confusissimo e non so chi seguire. 
Ti propongo una soluzione nel caso \(\displaystyle k=0\); ovvero studierò la diagonalizzabilità dell'endomorfismo lineare
\[
f\colon(x,y)\in\mathbb{R}^2\to(x,x+y)\in\mathbb{R}^2.
\]
Come già appurato, \(\displaystyle f\) è rappresentato rispetto alla base canonica dalla matrice
\[
A_0=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix};
\]
per definizione il polinomio caratteristico della matrice \(\displaystyle A_0\) è
\[
\det(A_0-\lambda I_2^2)=(1-\lambda)^2
\]
e la sua radice è \(\displaystyle1\). In altri termini: \(\displaystyle1\) è l'unico autovalore di \(\displaystyle A_0\) ha molteplicità algebrica \(\displaystyle2\) (autovalore doppio).
Da ciò devi studiare la molteplicità geometrica di \(\displaystyle1\), ovvero devi determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari:
\[
A_0\times\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
\]
Dopo gli opportuni calcoli, ottieni che questo sottospazio vettoriale è \(\displaystyle\{(0,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\in\mathbb{R}\}\); la sua dimensione è \(\displaystyle1\), ovvero la molteplicità geometrica di \(\displaystyle1\) è \(\displaystyle1\).
Poiché le molteplicità algebrica e geometrica dell'unico autovalore di \(\displaystyle A_0\) sono diverse hai che questa matrice non è diagonalizzabile.
\[
f\colon(x,y)\in\mathbb{R}^2\to(x,x+y)\in\mathbb{R}^2.
\]
Come già appurato, \(\displaystyle f\) è rappresentato rispetto alla base canonica dalla matrice
\[
A_0=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix};
\]
per definizione il polinomio caratteristico della matrice \(\displaystyle A_0\) è
\[
\det(A_0-\lambda I_2^2)=(1-\lambda)^2
\]
e la sua radice è \(\displaystyle1\). In altri termini: \(\displaystyle1\) è l'unico autovalore di \(\displaystyle A_0\) ha molteplicità algebrica \(\displaystyle2\) (autovalore doppio).
Da ciò devi studiare la molteplicità geometrica di \(\displaystyle1\), ovvero devi determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari:
\[
A_0\times\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
\]
Dopo gli opportuni calcoli, ottieni che questo sottospazio vettoriale è \(\displaystyle\{(0,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\in\mathbb{R}\}\); la sua dimensione è \(\displaystyle1\), ovvero la molteplicità geometrica di \(\displaystyle1\) è \(\displaystyle1\).
Poiché le molteplicità algebrica e geometrica dell'unico autovalore di \(\displaystyle A_0\) sono diverse hai che questa matrice non è diagonalizzabile.
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