Determinare punto di intersezione
ciao a tutti!!!
ho un problema con questo esercizio:
verificare che le rette $r:" "x=t," "y=t," "z=1+t$ ed $s:{(x+y-z=0),(2y+z-4=0):}$sono incidenti, determinare il punto $P$ di intersezione e l'equazione del piano che contiene le due rette.
allora io ho verificato che le due rette sono incidenti infatti i parametri direttori delle rette sono $vec r(1,1,1)$ e $vec s(-1,-1,2)$ linearmente indipendenti.
ora per trovare il punto di incidenza come devo procedere?
io ho pensato di vedere quando la retta $r$ interseca il piano su cui sta $s$ e mi è venuto fuori il punto $P(1,1,2)$ è giusto? c'è un modo più immediato per trovare il punto di incidenza?
mentre poi per trovare il piano che contiene le due rette come devo procedere? Ho provato in due modi ma mi escono 2 equazioni diverse ovvero
$alpha:3x+y-4z+4=0$ e $alpha':2x-3z+4=0$
qualcuno può darmi qualche spiegazione?
vi ringrazio anticipatamente...
ho un problema con questo esercizio:
verificare che le rette $r:" "x=t," "y=t," "z=1+t$ ed $s:{(x+y-z=0),(2y+z-4=0):}$sono incidenti, determinare il punto $P$ di intersezione e l'equazione del piano che contiene le due rette.
allora io ho verificato che le due rette sono incidenti infatti i parametri direttori delle rette sono $vec r(1,1,1)$ e $vec s(-1,-1,2)$ linearmente indipendenti.
ora per trovare il punto di incidenza come devo procedere?
io ho pensato di vedere quando la retta $r$ interseca il piano su cui sta $s$ e mi è venuto fuori il punto $P(1,1,2)$ è giusto? c'è un modo più immediato per trovare il punto di incidenza?
mentre poi per trovare il piano che contiene le due rette come devo procedere? Ho provato in due modi ma mi escono 2 equazioni diverse ovvero
$alpha:3x+y-4z+4=0$ e $alpha':2x-3z+4=0$
qualcuno può darmi qualche spiegazione?
vi ringrazio anticipatamente...
Risposte
Per trovare il punto di incidenza, trasforma l'equazione di $r$ da parametrica a cartesiana e metti a sistema $r$ ed $s$, troverai proprio il punto di intersezione.
Il piano che contiene le due rette come l'hai cercato? Geometricamente potresti prendere un piano di asse $r$ ed imporre il passaggio per un punto scelto a caso su $s$. $r$ vi apparterrà perchè costruisci il fascio proprio a partire da $r$, e poichè vi apparterrà il punto di intersezione (comune appunto ad entrambe le rette) e un punto di $s$ diverso dall'intersezione, avrai che anche $s$ giace su quel piano.
Il piano che contiene le due rette come l'hai cercato? Geometricamente potresti prendere un piano di asse $r$ ed imporre il passaggio per un punto scelto a caso su $s$. $r$ vi apparterrà perchè costruisci il fascio proprio a partire da $r$, e poichè vi apparterrà il punto di intersezione (comune appunto ad entrambe le rette) e un punto di $s$ diverso dall'intersezione, avrai che anche $s$ giace su quel piano.
ciao e grazie ad entrambi.
Avevo fatto confusione, per quanto riguarda l'intersezione ho ragionato come se fossi nel piano...
Sergio grazie per gli appunti.
Avevo fatto confusione, per quanto riguarda l'intersezione ho ragionato come se fossi nel piano...
Sergio grazie per gli appunti.
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