Determinare per quali valori del paramentro l'endomorfismo ammette base spettrale
Salve a tutti.
Ho questo problema: mi viene richiesto di determinare per quali valori del parametro "t" l'endomorfismo ammette base spettrale. L'endomorfismo in questione è:
$ T(x,y,z)=>((a+1)x-tz, (b+1)y, y+tz) $
Ora, io so che per verificare l'esistenza della base spettrale devo avere $\sum_{i=1}^l mg(\lambda_i)=n$ , dove $\n$=3 (numero variabili), $\lambda$ sono gli autovalori trovati, "$\l$" è il numero di autovalori trovati e $\mg$ sta per "molteplicità geometrica".
Imponendo $\det (A-\lambda I)=0$ ho trovato 3 autovalori: $\lambda_1=(a+1) , \lambda_2 = (b+1) , \lambda_3 = (t)$
A questo punto dovrei trovare le molteplicità geometriche degli autovalori e qui arriva il problema: so che $\mg(\lambda_i) = 3 - \rho(A-\lambda_i I)$ , ma come faccio a gestire le tre matrici e contemporaneamente il parametro t?
Le tre molteplicità geometriche, una volta sostituiti gli autovalori, dovrebbero essere:
1) $mg(\lambda_1) = 3 - \rho ((0,0,t),(0,b-a,0),(0,1,t-a-1))$
2) $mg(\lambda_2) = 3 - \rho ((a-b,0,-t),(0,0,0),(0,1,t-b-1))$
3) $mg(\lambda_3) = 3 - \rho ((a+1-t,0,-t),(0,b+1-t,0),(0,1,0))$
Grazie mille dell'aiuto
Ho questo problema: mi viene richiesto di determinare per quali valori del parametro "t" l'endomorfismo ammette base spettrale. L'endomorfismo in questione è:
$ T(x,y,z)=>((a+1)x-tz, (b+1)y, y+tz) $
Ora, io so che per verificare l'esistenza della base spettrale devo avere $\sum_{i=1}^l mg(\lambda_i)=n$ , dove $\n$=3 (numero variabili), $\lambda$ sono gli autovalori trovati, "$\l$" è il numero di autovalori trovati e $\mg$ sta per "molteplicità geometrica".
Imponendo $\det (A-\lambda I)=0$ ho trovato 3 autovalori: $\lambda_1=(a+1) , \lambda_2 = (b+1) , \lambda_3 = (t)$
A questo punto dovrei trovare le molteplicità geometriche degli autovalori e qui arriva il problema: so che $\mg(\lambda_i) = 3 - \rho(A-\lambda_i I)$ , ma come faccio a gestire le tre matrici e contemporaneamente il parametro t?
Le tre molteplicità geometriche, una volta sostituiti gli autovalori, dovrebbero essere:
1) $mg(\lambda_1) = 3 - \rho ((0,0,t),(0,b-a,0),(0,1,t-a-1))$
2) $mg(\lambda_2) = 3 - \rho ((a-b,0,-t),(0,0,0),(0,1,t-b-1))$
3) $mg(\lambda_3) = 3 - \rho ((a+1-t,0,-t),(0,b+1-t,0),(0,1,0))$
Grazie mille dell'aiuto
Risposte
Punto primo:
-cosa significa che l'endomorfismo ammette una base spettrale?
Significa implicitamente che l'applicazione deve essere diagonalizzabile, e che quindi:
a) gli autovalori sono reali e distinti.
b) gli autovalori devono avere molteplicità geometrica e algebrica uguali
c) la matrice associata all'endomorfismo è simmetrica.
Se si verifica una di queste tre cose la tua matrice è diagonalizzabile.
Nel tuo caso devi verificare che per ogni autovalore esiste un'autospazio ed esiste la base dell'autospazio.
primo caso:
$m(\lambda_1)= n - \ro((0,0,t),(0,b-a,0),(0,1, t-a-1))$
per imporre che la molteplicità geometrica sia uguale a quella algebrica dobbiamo porre che $det(A-\lambda_1 I_3) = 0$
calcoliamo il determinante:
$t ( b - a) (t-a-1) = 0 $ supposto che $b != a$ $=>$ $t_1 = 0, t_2 =a+1$
per $t_1 = 0$ e $t_2=a+1$, $\rho (A- \lambda_1 I_3) = 2$ e quindi $m_g = n - \rho (A- \lambda_1 I_3) = 1$
che coincide con la molteplicità algebrica di $\lambda_1$.
Ora il procedimento lo puoi reiterare per gli altri autovalori, alla fine ti trovi il valore comune per il quale tutti i $\rho (A-\lambda_i I_3 = 2 $
-cosa significa che l'endomorfismo ammette una base spettrale?
Significa implicitamente che l'applicazione deve essere diagonalizzabile, e che quindi:
a) gli autovalori sono reali e distinti.
b) gli autovalori devono avere molteplicità geometrica e algebrica uguali
c) la matrice associata all'endomorfismo è simmetrica.
Se si verifica una di queste tre cose la tua matrice è diagonalizzabile.
Nel tuo caso devi verificare che per ogni autovalore esiste un'autospazio ed esiste la base dell'autospazio.
primo caso:
$m(\lambda_1)= n - \ro((0,0,t),(0,b-a,0),(0,1, t-a-1))$
per imporre che la molteplicità geometrica sia uguale a quella algebrica dobbiamo porre che $det(A-\lambda_1 I_3) = 0$
calcoliamo il determinante:
$t ( b - a) (t-a-1) = 0 $ supposto che $b != a$ $=>$ $t_1 = 0, t_2 =a+1$
per $t_1 = 0$ e $t_2=a+1$, $\rho (A- \lambda_1 I_3) = 2$ e quindi $m_g = n - \rho (A- \lambda_1 I_3) = 1$
che coincide con la molteplicità algebrica di $\lambda_1$.
Ora il procedimento lo puoi reiterare per gli altri autovalori, alla fine ti trovi il valore comune per il quale tutti i $\rho (A-\lambda_i I_3 = 2 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo