Determinare l'equazione del cono
salve, ho questo problema.
determinare l'equazione del cono ottenuto ruotando l'asse x attorno alla retta $x=2y=2z$.
io ho ragionato in questo modo: il vertice è l'intersezione fra asse x e la retta, che è l'asse, dunque è $O=(0,0,0)$. una direttrice del cono è una circonferenza che ha centro sulla retta e giace su un piano perpendicolare alla retta stessa, e che passa per un punto dell'asse x, ovvero per un punto del tipo $P=(k,0,0)$. mi trovo il piano perpendicolare alla retta, che è $\pi: 2x+y+z=2k$, con $kinRR$, mediante i vettori di giacitura. poi la circonferenza la considero come intersezione fra il piano e una sfera che ha centro su R...da qui mi impallo, non so come procedere. ho pensato ad una sfera con lo stesso centro della circonferenza, e mi viene che il centro è $C=(2k/3, k/3, k/3)$ e il raggio, che è uguale a quello della circonferenza, è la distanza fra $C$ e $P$, ovvero $sqrt(k^2/3)$.. potete aiutarmi?
determinare l'equazione del cono ottenuto ruotando l'asse x attorno alla retta $x=2y=2z$.
io ho ragionato in questo modo: il vertice è l'intersezione fra asse x e la retta, che è l'asse, dunque è $O=(0,0,0)$. una direttrice del cono è una circonferenza che ha centro sulla retta e giace su un piano perpendicolare alla retta stessa, e che passa per un punto dell'asse x, ovvero per un punto del tipo $P=(k,0,0)$. mi trovo il piano perpendicolare alla retta, che è $\pi: 2x+y+z=2k$, con $kinRR$, mediante i vettori di giacitura. poi la circonferenza la considero come intersezione fra il piano e una sfera che ha centro su R...da qui mi impallo, non so come procedere. ho pensato ad una sfera con lo stesso centro della circonferenza, e mi viene che il centro è $C=(2k/3, k/3, k/3)$ e il raggio, che è uguale a quello della circonferenza, è la distanza fra $C$ e $P$, ovvero $sqrt(k^2/3)$.. potete aiutarmi?
Risposte
Il ragionamento fila ma ti conviene prendere la sfera che ha il centro in un punto particolare di r e precisamente l'origine
\(\displaystyle O(0,0,0) \) e raggio \(\displaystyle OP=k \). In tal modo le equazioni del cono diventano :
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2+z^2=k^2\\x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=k\end{cases}\)
Eliminando k hai l'equazione cartesiana del cono :
\(\displaystyle 3y^2+3z^2-4xy-4xz-2yz=0 \)
\(\displaystyle O(0,0,0) \) e raggio \(\displaystyle OP=k \). In tal modo le equazioni del cono diventano :
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2+z^2=k^2\\x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=k\end{cases}\)
Eliminando k hai l'equazione cartesiana del cono :
\(\displaystyle 3y^2+3z^2-4xy-4xz-2yz=0 \)
"vittorino70":
Il ragionamento fila ma ti conviene prendere la sfera che ha il centro in un punto particolare di r e precisamente l'origine
\(\displaystyle O(0,0,0) \) e raggio \(\displaystyle OP=k \). In tal modo le equazioni del cono diventano :
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2+z^2=k^2\\x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=k\end{cases}\)
Eliminando k hai l'equazione cartesiana del cono :
\(\displaystyle 3y^2+3z^2-4xy-4yz-2yz=0 \)
ecco, era questo che non mi tornava: quale era il ragionamento rigoroso per giungere alla sfera $x^2+y^2+z^2=k^2$. quindi è lecito prendere un determinato centro, e non il caso generale. grazie!!
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