Determinare le componenti di un vettore rispetto a una base

[giupar93]

Buona sera ragazzi, questo è il titolo dell'esercizio:
Determinare le componenti dei vettori $(1,2,2), (1,2,4) in R^3$ rispetto alla base $ A=[v1 (2,2,2),v2 (-1,0,3), v3 (2,1,2)] $

Io ho proseguito così:

Bisogna determinare una terna $(alpha, beta,gamma):alphav1+betav2+gammav3=(1,2,2)$ e un'altra terna $(alpha1, beta1,gamma1):alpha1v1+beta1v2+gamma1v3=(1,2,4)$
Poiché $alphav1+betav2+gammav3=(2alpha-beta+2gamma,2alpha+gamma,2alpha+3beta+2gamma$ devo risolvere il sistema:${ (2alpha-beta+2gamma=(1,1)),( 2alpha+gamma=(2,2)),( 2alpha+3beta+2gamma=(2,4)):} $
come lo risolvo? Grazie mille anticipatamente a tutti (:

[garnak.olegovitc1]

"giupar93": devo risolvere il sistema:${ (2alpha-beta+2gamma=(1,1)),( 2alpha+gamma=(2,2)),( 2alpha+3beta+2gamma=(2,4)):} $
come lo risolvo?

non ricordo bene come si risolvevano questi sistemi*, comunque puoi trovare le componenti di \((1,2,2)\) e \( (1,2,4)\) procedendo separatamente, ovvero risolvendo questi due sistemi: $$\left\{\begin{matrix}
2 \alpha-\beta +2 \gamma=1\\
2 \alpha + \gamma=2\\
2 \alpha + 3 \beta + 2 \gamma=2
\end{matrix}\right. \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \left\{\begin{matrix}
2 \alpha_1-\beta_1 +2 \gamma_1=1\\
2 \alpha_1 + \gamma_1=2\\
2 \alpha_1 + 3 \beta_1 + 2 \gamma_1=4
\end{matrix}\right. $$ come? Guarda qui e posta un tuo tentativo di risoluzione di almeno uno dei due sistemi lineari!

[size=50]*non ricordo nemmeno il nome.. [/size]

[giupar93]

omettendo tutti i passaggi, la soluzione del primo sistema è:
$alpha=3/2,gamma=-1,beta=0$ come continuo nella soluzione dell'esercizio?

[garnak.olegovitc1]

"giupar93":omettendo tutti i passaggi, la soluzione del primo sistema è:
$alpha=3/2,gamma=-1,beta=0$ come continuo nella soluzione dell'esercizio?

sei sicuro che \((3/2, 0,-1) = [(1,2,2)]_{A}\) cioè sei sicuro \((\alpha, \beta, \gamma)\) sono le componenti di \((1,2,2)\) rispetto alla base \(A\)? Cioè ancora, hai provato a vedere se $$\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3=(1,2,2)\; ??$$ Se l'uguaglianza è verificata allora lo sono, in caso contrario hai sbagliato qualche calcolo!! Comunque sia, risolvendo giustamente anche il secondo sistema di trovi le componendi di \((1,2,4)\) rispetto alla base \( A \), ovvero \( (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)=[(1,2,4)]_{A}\), ricordati sempre di verificare... così facendo hai finito l'esercizio!

[giupar93]

allora ho provato a risolvere il sistema e c'era qualche errore di calcolo.. adesso ho i seguenti valori:

$alpha=7/6, beta=2/3, gamma= -(1/3)$

facendo la prova ovvero: $7/6v1+2/3v2+(-1/3)v3=(1,2,2)$ l'uguaglianza non viene soddisfatta..allorché mi domando.. dove posso sbagliare?

[garnak.olegovitc1]

@giupar93,
scrivi i calcoli...

[giupar93]

ok.. allora i seguenti calcoli per la risoluzione del sistema:

$ { ( 2alpha-beta+2gamma=1 ),( 2alpha+gamma=2 ),( 2alpha-3beta+2gamma=2 ):}rarr { ( 2alpha-beta+4-4alpha=1 ),( gamma=2-2alpha ),( 2alpha-3beta+4-2alpha=2 ):}rarr { ( -2alpha-beta=-3 ),( gamma=2-2alpha ),( beta=2/3 ):}rarr $ $ { ( -2alpha=-3+2/3 ),( gamma=2-2alpha ),( beta=2/3 ):}rarr{ ( alpha=7/6 ),( gamma=-1/3 ),( beta=2/3 ):} $

per testare se $alpha,beta e gamma$ sono i componenti ho fatto questo:

$(7/3,-7/6,7/3)+(4/3,0,2/3)+(-2/3,-1,-2/3) = (1,2,2)$ ma tale uguaglianza non è soddisfatta

[garnak.olegovitc1]

"giupar93":ok.. allora i seguenti calcoli per la risoluzione del sistema:

$ { ( 2alpha-beta+2gamma=1 ),( 2alpha+gamma=2 ),( 2alpha-3beta+2gamma=2 ):}$

ma non era \(+3\beta\)?

[giupar93]

hai ragione, adesso ho trovato $alpha=11/6, beta = -2/3 e gamma=5/3$ corretto?

[garnak.olegovitc1]

nein, a me viene $$(\alpha, \beta, \gamma)=(11/8, 1/4, -3/4)$$

[giupar93]

si vero hai ragione..che errori stupidi... però adesso come dovrei fare per verificare $αv1+βv2+γv3=(1,2,2)$ ??

dovrebbe venire:

$(11/4,11/8,11/4)+(1/2,0,1/4)+(-3/2,-9/4,-3/2)=(1,2,2)$ ??? facendo così l'uguaglianza non è soddisfatta. Dove sbaglio?

[garnak.olegovitc1]

@giupar93, errare humanum est, perseverare autem diabolicum $$\frac{11}{8}(2,2,2)+ \frac{-1}{4}(1,0,3)+ \frac{-3}{4}(2,1,2)=$$$$=(\frac{11}{4},\frac{11}{4},\frac{11}{4})+(\frac{-1}{4},0, \frac{3}{4})+(\frac{-3}{2},\frac{-3}{4},\frac{-3}{2})=$$$$=(\frac{11}{4}+\frac{-1}{4}+\frac{-3}{2},\frac{11}{4}+0+\frac{-3}{4},\frac{11}{4}+\frac{3}{4}+\frac{-3}{2})=$$$$=(\frac{11-1-6}{4},\frac{11+0-3}{4},\frac{11+3-6}{4})=$$$$=(1,2,2)$$ Byeee

[giupar93]

Hai ragione perfettamente, mi sarò confuso. Comunque sia..Grazie mille!!!

[garnak.olegovitc1]

di nulla.. ciao!