Determinare immagine e nucleo
Qual è il procedimento per determinare immagine e nucleo della seguente applicazione lineare definita da :
$((1,-2,0,-1),(1,1,3,2),(-1,1,-1,0))$
per il nucleo immagino che debba cercare le soluzioni uguagliando il sistema a zero
$((1,-2,0,-1),(1,1,3,2),(-1,1,-1,0))$
per il nucleo immagino che debba cercare le soluzioni uguagliando il sistema a zero
Risposte
Sì sostanzialmente devi trovare un $\mathcal{vec x} \in \mathbb{R^4}$ tale che $A \mathcal{vec x} = vec0$, dal momento che $f(vecv)=vec0$ corrisponde a $A vec v= vec0$, poiché che lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali è isomorfo allo spazio delle matrici.
Per l'immagine, una volta trovata $dim(ker))$ puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti: quelli sono una base per l'immagine.
Per l'immagine, una volta trovata $dim(ker))$ puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti: quelli sono una base per l'immagine.
facendo il conto ottengo :
$x=-2z -t$
$y=-z-t$
$z=z$
$t=t$
quindi $(-2,-1,1,0)z+(-1,-1,0,1)t$
Ma non capisco perché la soluzione del nucleo sul testo sia <(-2,-1,1,0)(1,1,0,-1)>
Immagino che la dimensione del Ker sia $2$ visto che ottengo due vettori... ma non capisco il resto del calcolo per individuare la base dell'immagine.
$x=-2z -t$
$y=-z-t$
$z=z$
$t=t$
quindi $(-2,-1,1,0)z+(-1,-1,0,1)t$
Ma non capisco perché la soluzione del nucleo sul testo sia <(-2,-1,1,0)(1,1,0,-1)>
"feddy":
Per l'immagine, una volta trovata $dim(ker))$ puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti: quelli sono una base per l'immagine.
Immagino che la dimensione del Ker sia $2$ visto che ottengo due vettori... ma non capisco il resto del calcolo per individuare la base dell'immagine.
Per il nucleo: cosa fa $A*((1),(1),(0),(-1))$?
Per l'immagine: estraine $n-2$ di linearmente indipendenti, con $n$ dimesione dello spazio di partenza
Per l'immagine: estraine $n-2$ di linearmente indipendenti, con $n$ dimesione dello spazio di partenza
"feddy":
Per il nucleo: cosa fa $A*((1),(1),(0),(-1))$?
Per l'immagine: estraine $n-2$ di linearmente indipendenti, con $n$ dimesione dello spazio di partenza
benissimo, il risultato è $(0,0,0)$ con entrambi i vettori sia $(1,1,0,-1)$ che $(-1,-1,0,1)$ quindi presumo che entrambi facciano parte del ker ma non capisco come determinare quello che è riportato nella soluzione dell'esercizio (cioè $(1,1,0,-1)$)
La dimensione dello spazio iniziale è 4 quindi per Gauss 4-2=2 è la dim dell'immagine, non capisco però cosa significhi:
"feddy":
puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti:
Sono definiti, come vedi, a meno di moltiplicazione per scalari (non nulli), quindi qualsiasi dei due trovati van bene...andrebbe bene anche $10^6 ((1),(1),(0),(−1))$.
Cosa vuol dire "per Gauss" ? Il teorema che devi usare è "thm. delle dimensioni" o "nullità più rango" (ha molti nomi), ma Gauss non l'ho mai sentito.
Se intendi ridurre la matrice a scala con Gauss, allora devi trovare che il rango è $2$. A questo punto devi estrarre due vettori linearmente indipendenti. Visto che non sai cosa significa, cerca sul forum o su internet...troverai valanghe di esercizi simili...
Cosa vuol dire "per Gauss" ? Il teorema che devi usare è "thm. delle dimensioni" o "nullità più rango" (ha molti nomi), ma Gauss non l'ho mai sentito.
Se intendi ridurre la matrice a scala con Gauss, allora devi trovare che il rango è $2$. A questo punto devi estrarre due vettori linearmente indipendenti. Visto che non sai cosa significa, cerca sul forum o su internet...troverai valanghe di esercizi simili...
"feddy":
Sono definiti, come vedi, a meno di moltiplicazione per scalari (non nulli), quindi qualsiasi dei due trovati van bene...andrebbe bene anche $10^6 ((1),(1),(0),(−1))$.
Cosa vuol dire "per Gauss" ? Il teorema che devi usare è "thm. delle dimensioni" o "nullità più rango" (ha molti nomi), ma Gauss non l'ho mai sentito.
Se intendi ridurre la matrice a scala con Gauss, allora devi trovare che il rango è $2$. A questo punto devi estrarre due vettori linearmente indipendenti. Visto che non sai cosa significa, cerca sul forum o su internet...troverai valanghe di esercizi simili...
in realtà volevo dire per il th di Grassman
Hai un po' di confusione a riguardo... la formula di grassmann a che ti può servire ora? Non c'entra proprio nulla purtroppo. Io mi riferisco a questo
"feddy":
poiché che lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali è isomorfo allo spazio delle matrici.
Rileggevo... cosa significa esattamente è isomorfo allo spazio delle matrici
Due spazi vettoriali vettoriali, $V$, $W$ per definizione si dicono isomorfi se esiste tra di loro un isomorfismo, cioè esiste un'applicazione $f: V \rarr W$ lineare e biiettiva.
Prova a mostrare che:
Prova a mostrare che:
$Hom(V,W)$ (lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita rispettivamente $m$ e $n$) e $M a t (n,m)$ (spazio vettoriale della matrici di taglia $m xx n$ a coefficienti in $RR$ ) sono isomorfi.
"feddy":
Due spazi vettoriali vettoriali, $V$, $W$ per definizione si dicono isomorfi se esiste tra di loro un isomorfismo, cioè esiste un'applicazione $f: V \rarr W$ lineare e biiettiva.
Il concetto sopra mi è chiarissimo e ne ero a conoscenza, ma non capivo bene come era enunciato qua sotto in particolare quello in grassetto:
lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali è isomorfo allo spazio delle matrici
spazio delle applicazioni lineari si intende $V$ e $W$ mentre lo spazio delle matrici?
Si intende ${f: f:V \rarr W}$ tale che $f$ è applicazione lineare. Stai considerando uno spazio di funzioni.
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