Determinare il kerf e imf con una matrice NON quadrata
Hello!
E' già tre quarti d'ora che cerco di risolvere questo problema, quindi sono giunta alla conclusione che ho bisogno di un aiuto.
TESTO: Determinare, al variare di k: dim(kerf), dim(imf), una loro base, se la f è iniettiva o suriettiva. Il testo è il seguente:
$R^3$ --> $R^4$
f(x,y,z) = ( x+y+2z, 7x+10y+7z, kx+2y-2z, 9x+17y+(10+k)x )
COME HO FATTO IO: seguendo gli appunti del prof, ho considerato la base canonica B= ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)), e ho costruito la matrice, che mi risulta così:
$((1,1,2),(7,10,7),(k,2,-2),(9,17,10+k))$
Il problema che non riesco a risolvere è il seguente:
1) come faccio a determinare kerf e imf dal momento che la matrice non è quadrata? Vi chiedo questo perchè l'unico modo che conosco per determinarli è fare il determinante (non so se esistono altri ahaha), ma qui non è possibile farlo.
2) Mi potreste rispiegare velocemente, e in modo più semplice possibile, come faccio a a ''capire'' quando è iniettiva o quando è suriettiva?
Grazie mille in anticipo! Spero in una vostra risposta.
Mara.
E' già tre quarti d'ora che cerco di risolvere questo problema, quindi sono giunta alla conclusione che ho bisogno di un aiuto.
TESTO: Determinare, al variare di k: dim(kerf), dim(imf), una loro base, se la f è iniettiva o suriettiva. Il testo è il seguente:
$R^3$ --> $R^4$
f(x,y,z) = ( x+y+2z, 7x+10y+7z, kx+2y-2z, 9x+17y+(10+k)x )
COME HO FATTO IO: seguendo gli appunti del prof, ho considerato la base canonica B= ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)), e ho costruito la matrice, che mi risulta così:
$((1,1,2),(7,10,7),(k,2,-2),(9,17,10+k))$
Il problema che non riesco a risolvere è il seguente:
1) come faccio a determinare kerf e imf dal momento che la matrice non è quadrata? Vi chiedo questo perchè l'unico modo che conosco per determinarli è fare il determinante (non so se esistono altri ahaha), ma qui non è possibile farlo.
2) Mi potreste rispiegare velocemente, e in modo più semplice possibile, come faccio a a ''capire'' quando è iniettiva o quando è suriettiva?
Grazie mille in anticipo! Spero in una vostra risposta.
Mara.
Risposte
"brignella":
f(x,y,z) = ( x+y+2z, 7x+10y+7z, kx+2y-2z, 9x+17y+(10+k)x )
Presumo che l'ultima componente sia \( 9x + 17y + (10 + k)\, z \); la matrice da te scritta è in tal caso corretta.
"brignella":
1) come faccio a determinare kerf e imf dal momento che la matrice non è quadrata? Vi chiedo questo perchè l'unico modo che conosco per determinarli è fare il determinante (non so se esistono altri ahaha), ma qui non è possibile farlo.
Basta risolvere il sistema lineare
\[ AX = \mathbf{0} \]
dove \( A \) è la matrice che hai appena calcolato.
"brignella":
2) Mi potreste rispiegare velocemente, e in modo più semplice possibile, come faccio a a ''capire'' quando è iniettiva o quando è suriettiva?
Se \( f \) è iniettiva, allora \( \ker\, f = \lbrace \mathbf{0} \rbrace \); se è suriettiva, invece, risulta \( \text{Im}\ f = \mathbb{R}^4 \).
"brignella":
Hello!
E' già tre quarti d'ora che cerco di risolvere questo problema, quindi sono giunta alla conclusione che ho bisogno di un aiuto.
TESTO: Determinare, al variare di k: dim(kerf), dim(imf), una loro base, se la f è iniettiva o suriettiva. Il testo è il seguente:
$R^3$ --> $R^4$
f(x,y,z) = ( x+y+2z, 7x+10y+7z, kx+2y-2z, 9x+17y+(10+k)x )
COME HO FATTO IO: seguendo gli appunti del prof, ho considerato la base canonica B= ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)), e ho costruito la matrice, che mi risulta così:
$((1,1,2),(7,10,7),(k,2,-2),(9,17,10+k))$
Il problema che non riesco a risolvere è il seguente:
1) come faccio a determinare kerf e imf dal momento che la matrice non è quadrata? Vi chiedo questo perchè l'unico modo che conosco per determinarli è fare il determinante (non so se esistono altri ahaha), ma qui non è possibile farlo.
2) Mi potreste rispiegare velocemente, e in modo più semplice possibile, come faccio a a ''capire'' quando è iniettiva o quando è suriettiva?
Grazie mille in anticipo! Spero in una vostra risposta.
Mara.
ti do un hint in più di Riccardo, poni \(\displaystyle AX= {0} \) dove \(\displaystyle {0} \) è l'enupla con tutti zeri,riduci a scalini con l'eliminazione di Gauss vedi se nella matrice ridotta ti viene qualche pivots \(\displaystyle p=0 \) allora il rango non è più n (in questo caso 3) ma di meno .
Una volta che vedi i pivots che sono 0 capisci che a quel numero puoi dargli un qualsiasi valore perché hai per esempio
\(\displaystyle 0*x = 0 \) quindi assegnando un valore a questa \(\displaystyle x \) determini anche le altre righe.
Spero di essere stato chiaro se servono ulteriori spiegazioni chiedi
.
Vi ringrazio per la risposta!
L'unico mio problema è a questo punto eliminare con Gauss, e la cosa mi risulta davvero difficile soprattutto quando devo eliminare delle K o delle somme con K al suo interno.
Avete qualche consiglio per poter eliminare "più velocemente"?
Per il resto grazie, siete stati molto esaustivi
))
Mara
L'unico mio problema è a questo punto eliminare con Gauss, e la cosa mi risulta davvero difficile soprattutto quando devo eliminare delle K o delle somme con K al suo interno.
Avete qualche consiglio per poter eliminare "più velocemente"?
Per il resto grazie, siete stati molto esaustivi
))Mara
no purtroppo no..gauss è perfetto ma laborioso in questi casi..sarebbe meglio trovare una matrice elemntare e poi "orlala" .
Comunque in quanto alla funzione surgettiva si capisce subito che in casi come questo non può esserloperché al massimo la ridotta può avere 3 pivots cioè tre vettori linearmente indipendenti e quindi dimensione 3 mentre la funzione deve andare a \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \)
Comunque in quanto alla funzione surgettiva si capisce subito che in casi come questo non può esserloperché al massimo la ridotta può avere 3 pivots cioè tre vettori linearmente indipendenti e quindi dimensione 3 mentre la funzione deve andare a \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \)
"brignella":
Avete qualche consiglio per poter eliminare "più velocemente"?
Ma signori, basta fare i calcoli direttamente, è molto più semplice.
Usare le matrici per trovare le soluzioni di un sistema lineare è in generale laborioso; esse sono comode quando interessa studiare il numero delle soluzioni.
"Riccardo Desimini":
[quote="brignella"]Avete qualche consiglio per poter eliminare "più velocemente"?
Ma signori, basta fare i calcoli direttamente, è molto più semplice.
Usare le matrici per trovare le soluzioni di un sistema lineare è in generale laborioso; esse sono comode quando interessa studiare il numero delle soluzioni.[/quote]
Riccardo intendi quindi usare il determinate ???
"Riccardo Desimini":
[quote="brignella"]Avete qualche consiglio per poter eliminare "più velocemente"?
Ma signori, basta fare i calcoli direttamente, è molto più semplice.
Usare le matrici per trovare le soluzioni di un sistema lineare è in generale laborioso; esse sono comode quando interessa studiare il numero delle soluzioni.[/quote]
Ma considerato che le dimensioni del nucleo e dell'immagine io li so calcolare solo tramite il rango della matrice, quando trovo le soluzioni x,y,z del sistema.. come posso ricondurmi al rango, o comunque alla dimensione di kerf o imf?
Ho chiesto anche al prof, e mi ha risposto
''Quello che le serve è determinare il rango della matrice associata alla f. Quando una matrice non è quadrata semplicemente non può usare il determinante ma deve fare l'eliminazione di Gauss.
Se proprio volesse usare i determinanti, poiché la matrice è 3x4 deve calcolare i determinanti di tutti i minori 3x3 e vedere se c'è un valore di k che li annulla tutti... o usare il metodo dei minori orlati (veda nelle dispense alla fine del capitolo sul determinante). Comunque sono metodi in genere più lunghii del fare semplicemente l'eliminazione di Gauss.''
Ma.... la matrice associata?
''Quello che le serve è determinare il rango della matrice associata alla f. Quando una matrice non è quadrata semplicemente non può usare il determinante ma deve fare l'eliminazione di Gauss.
Se proprio volesse usare i determinanti, poiché la matrice è 3x4 deve calcolare i determinanti di tutti i minori 3x3 e vedere se c'è un valore di k che li annulla tutti... o usare il metodo dei minori orlati (veda nelle dispense alla fine del capitolo sul determinante). Comunque sono metodi in genere più lunghii del fare semplicemente l'eliminazione di Gauss.''
Ma.... la matrice associata?
considera che le matrici e le applicazioni lineari sono due facce della stessa medaglia.....la matrice associata è quella che hai scritto te
"Ariz93":
Riccardo intendi quindi usare il determinate ???
No. Il determinante esiste solo nel caso di matrici quadrate.
Quando io dico "fare i calcoli", intendo esattamente fare i calcoli, cioè risolvere il sistema lineare come ti hanno insegnato alle scuole superiori. Quello è il modo più veloce.
Hai
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 7x + 10y + 7z = 0 \\ kx + 2y -2z = 0 \\ 9x + 17y + (10+k)z = 0 \end{cases} \]
al variare di \( k \in \mathbb{R} \).
Risolvendolo in funzione di \( k \) puoi discriminare le varie dimensioni del nucleo al variare del parametro.
La cosa interessante è che avendo la matrice associata e questo sistema lineare puoi rispondere a tutte le richieste dell'esercizio.
Guarda che cmq puoi determinare una minore quadrata dentro alla nn quadrata e fare varie supposizioni su una 2x2 e poi orlarla... cmq è lungo cm procedimento...bé cmq risolvere il sist. È un caso estremo xD
Salve a tutti.Sono nuovo qui e ringrazio in anticipo chiunche riesca a darmi una mano e soprattutto spero di non aver violato di già il regolamento del forum in qualche modo.
Mi sono trovato di fronte ad un esercizio simile a questo ma non sono riuscito a risolverlo malgrado le informazioni contenute in questo 3d siano gia un bel po.
Non ho capito come devo agire di preciso.Nel mio caso la matrice di riferimento è la seguente
$((1,1,2),(8,16,8),(k,2,-2),(9,17,10+k))$
facendo le riduzioni con gaus per cercare di ottenere una matrice a gradini per la quale determinare il rango, ottengo una roba del genere che però non mi sembra avere granchè senso.
$((1,1,2),(0,8,-8),(0,0,-3k),(0,0,k))$
Ho rifatto i calcoli più volte e mi sembrano giusti.Aquesto punto credo che il problema sia concettuale.
Ho letto in questo post che bisogna porre AX=0 ma in che modo??aggiungendo una riga di 0??
Grazie a chiunque provi a tirarmi fuori da questo pantano.
Saluti
Mi sono trovato di fronte ad un esercizio simile a questo ma non sono riuscito a risolverlo malgrado le informazioni contenute in questo 3d siano gia un bel po.
Non ho capito come devo agire di preciso.Nel mio caso la matrice di riferimento è la seguente
$((1,1,2),(8,16,8),(k,2,-2),(9,17,10+k))$
facendo le riduzioni con gaus per cercare di ottenere una matrice a gradini per la quale determinare il rango, ottengo una roba del genere che però non mi sembra avere granchè senso.
$((1,1,2),(0,8,-8),(0,0,-3k),(0,0,k))$
Ho rifatto i calcoli più volte e mi sembrano giusti.Aquesto punto credo che il problema sia concettuale.
Ho letto in questo post che bisogna porre AX=0 ma in che modo??aggiungendo una riga di 0??
Grazie a chiunque provi a tirarmi fuori da questo pantano.
Saluti
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