Determinare endomorfismo
mi sono ritrovato dinnanzi un esercizio fuori da quelli che sono solito fare su questo argomento e non so come procedere.
Siano U={(x,y,z,t)/in R^4/x+2y-z=0;x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t)/in R^4/x-y+z=0;x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo che ammetta U come nucleo e W come spazio immagine.
Mi scuso se non uso la scrittura adatta ma non ho capito come si fa, e ringrazio chiunque voglia aiutarmi a capire come svolgere l'esercizio.
Siano U={(x,y,z,t)/in R^4/x+2y-z=0;x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t)/in R^4/x-y+z=0;x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo che ammetta U come nucleo e W come spazio immagine.
Mi scuso se non uso la scrittura adatta ma non ho capito come si fa, e ringrazio chiunque voglia aiutarmi a capire come svolgere l'esercizio.
Risposte
Giusto un'idea: determina una base di $U$ e completala a una base $\mathcal B$ di $RR^4$. Ora scrivi una base di $W$. Infine, scrivi la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $\mathcal B$ (riesci a capire com'è fatta? E' piuttosto semplice...
).
P.S. Benvenuto tra noi. Per le formule, basta che clicchi sul box rosa in alto e troverai tutte le informazioni.
).P.S. Benvenuto tra noi. Per le formule, basta che clicchi sul box rosa in alto e troverai tutte le informazioni.
"Paolo90":
Giusto un'idea: determina una base di $U$ e completala a una base $\mathcal B$ di $RR^4$. Ora scrivi una base di $W$. Infine, scrivi la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $\mathcal B$ (riesci a capire com'è fatta? E' piuttosto semplice...
P.S. Benvenuto tra noi. Per le formule, basta che clicchi sul box rosa in alto e troverai tutte le informazioni.
Grazie Paolo
allora la base di U che io ho trovato è <1,0,-1,-1> <0,1,1-1> quando dici completala con una base B di R^4 vuol dire che devo considerare i vettori u3 e u4 di R^4 tali che u3=<0,0,1,0> e u4=0,0,0,1> ?per W ho trovato come base <1,0,-1,-1> <0,1,1,1
scrivere la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base devo considerare come righe i miei 4 vettori? purtoppo anche se semplice è la prima volta che mi trovo davanti a un esercizio di questo genere e sono un po' spaesato. Grazie per la tua gentilezza
"SpecialOne":
Grazie Paolo
In generale, se tu hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e consideri $k < n$ vettori linearmente indipendenti, puoi sempre completare questo insieme di vettori a una base: basta aggiungere un po' di vettori avendo cura di controllare la lineare indipendenza. Quindi se $<1,0,-1,-1>, <0,1,1-1>, u_3, u_4$ sono l.i. (controllalo!) hai proprio una base di $\RR^{4}$.
"SpecialOne":
per W ho trovato come base <1,0,-1,-1> <0,1,1,1>
scrivere la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base devo considerare come righe i miei 4 vettori? purtoppo anche se semplice è la prima volta che mi trovo davanti a un esercizio di questo genere e sono un po' spaesato.
Considera la base $\mathcal B$: come saprai, un endomorfismo è univocamente determinato dalle immagini dei vettori di una base. Bene, allora basta dare l'immagine dei vettori di $\mathcal B$: in chi manderemo i primi due vettori? E chi sarà l'immagine degli altri due, $u_3$ e $u_4$? Non hai molte scelte: i primi due vettori devono stare nel nucleo, quindi la loro immagine è necessariamente .... ; d'altra parte, imponendo la condizione sull'immagine...
Per quanto riguarda scrivere esplicitamente la matrice, occorre cautela. Anzitutto, ti invito a controllare sul tuo libro/appunti/dispense come si scrive la matrice associata ad un'applicazione lineare (troverai senz'altro la risposta alla domanda che mi poni: "Per righe? O per colonne?").
In secondo luogo, tieni conto delle basi rispetto a cui vuoi/devi scrivere la matrice. L'esercizio chiede qualcosa di preciso a questo proposito? E' sempre una questione un po' noiosa questa delle basi, ma è opportuno tenerne conto.
"SpecialOne":
Grazie per la tua gentilezza
Figurati, è un piacere.
Ok per la base di B verificato che i 4 vettori sono l.i. ho trovato proprio una base di R^4.
Perfetto ora però qui mi nasce il problema:"
Perfetto ora però qui mi nasce il problema:"
...allora basta dare l'immagine dei vettori di B: in chi manderemo i primi due vettori?"Per trovare l'immagine di un vettore io ho sempre applicato la definizione ImL={w€R^4/l(v)=w per qualche v€V} ma non capisco come applicarla qui...
"Non hai molte scelte: i primi due vettori devono stare nel nucleo, quindi la loro immagine è necessariamente .... ; d'altra parte, imponendo la condizione sull'immagine... "purtroppo anche questo passaggio non mi è chiaro. Purtroppo pur cercando da solo, mancando qualcuno che le spiega correttamente a lezione resta complicato.. ti ringrazio , immagino che possa essere scocciante spiegare ogni virgola per chi già le sa fare.
"SpecialOne":
Per trovare l'immagine di un vettore io ho sempre applicato la definizione ImL={w€R^4/l(v)=w per qualche v€V} ma non capisco come applicarla qui...
Quella che hai scritto è la definizione di immagine di un'applicazione lineare, non di immagine di un vettore. Prendi un vettore della base che hai trovato, chiamiamolo $u_1$: dare l'immagine di $u_1$ mediante un'applicazione $\phi$ significa scegliere un vettore $v_1$ nello spazio di arrivo (in questo caso è ancora $RR^{4}$) e imporre che $\phi(u_1)=v_1$. Naturalmente, devi ripetere questo procedimento per tutti e quattro i vettori della base $\mathcal B$. La domanda è quindi: riesci a capire chi devi scegliere come $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$? E' più chiaro ora?
"SpecialOne":
Purtroppo pur cercando da solo, mancando qualcuno che le spiega correttamente a lezione resta complicato.. ti ringrazio , immagino che possa essere scocciante spiegare ogni virgola per chi già le sa fare.
Al contrario; uno spiegando le cose si mette sempre in gioco e ripassa ciò che ha già studiato quindi non è affatto scocciante. Con il mio invito a cercare sul libro, voglio solo spronarti a pensare, ragionare e cercare in autonomia: fare Matematica significa (soprattutto) questo, pensare. Non lo faccio per una questione di pigrizia o di noia, ci mancherebbe; risolverti completamente l'esercizio o spiegarti tutto per benino (come su un libro di testo) sarebbe controproducente per te e per la tua formazione. Capisci ciò che voglio dire?
Certo e per questo che continuo a ringraziarti certamente non voglio la pappa pronta, ma capire come procedere per essere autonomo, ma purtroppo sto scoprendo novità su un argomento che è stato trattato malamente per quanto mi sembra. fino adesso ho solo applicato la definizione di immagine di un 'applicazione lineare... ma lasciamo perdere ho capito che bisogna fare per sè all'università...Dopo una breve polemica.. torniamo a noi. Allora
Tra l'altro sto rischiando di perdere di vista il problema: la base di W l'ho trovate ma che devo farne? Parlavamo anche di una matrice... molte idee e pure confuse
certamente non voglio la pappa pronta, ma capire come procedere per essere autonomo, ma purtroppo sto scoprendo novità su un argomento che è stato trattato malamente per quanto mi sembra. fino adesso ho solo applicato la definizione di immagine di un 'applicazione lineare... ma lasciamo perdere ho capito che bisogna fare per sè all'università...Dopo una breve polemica.. torniamo a noi. Allora dare l'immagine di u1 mediante un'applicazione ϕ significa scegliere un vettore v1 nello spazio di arrivo (in questo caso è ancora ℝ4) e imporre che ϕ(u1)=v1.prima domanda : la base di arrivo è R^4 perché la base è R^4?
La domanda è quindi: riesci a capire chi devi scegliere come v1, v2, v3, v4?purtroppo no, l'unica cosa che mi viene in mente, la butto lì è che supposto che u1=<1,0,-1,-1> come abbiamo visto precedentemente,devo scegliere un immagine v1 nell'insieme di arrivo di R^4 che mi dia il vettore u1? magari utilizzando la base canonica di R^4, vado avanti per supposizione purtroppo... ma anche qui non so come impostare.
Tra l'altro sto rischiando di perdere di vista il problema: la base di W l'ho trovate ma che devo farne? Parlavamo anche di una matrice... molte idee e pure confuse
qualcuno mi può aiutare per favore?
Mi scrivi per piacere le definizioni (precise, possibilmente usando la sintassi apposita per le formule) di:
1) applicazione lineare (tra spazi vettoriali);
2) matrice associata a un'applicazione lineare;
3) nucleo e immagine di un'applicazione.
Finché non hai chiare (chiarissime!) queste definizioni è impossibile procedere.
1) applicazione lineare (tra spazi vettoriali);
2) matrice associata a un'applicazione lineare;
3) nucleo e immagine di un'applicazione.
Finché non hai chiare (chiarissime!) queste definizioni è impossibile procedere.
si
Siano $ V e W $ due spazi vettoriali sul campo $ K $. Un'applicazione $ L:V->W $ si chiama applicazione lineare se verifica le seguenti proprietà: $ 1: f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) AA v1 e v2 in V. 2:f(av)=f(v) AA a in RR e AA v in V$.
Data un'applicazione lineare $L:V->W$ e definite le basi $B1 e B2 $ rispettivamente degli spazi vettoriali $ V e W$ è possibile costruire la matrice associata all'applicazione il cui vettore colonna è dato dalle coordinate del vettore immagine della base $b1$ rispetto a $b2$
Si definisce Nucleo di un'applicazione il sootinsieme dei vettori V che hanno come immagine il vettore nullo $Ker={v in V,f(v)=0}$
Si definisce immagine di un'appicazione lineare un vettore $w in W$ tale che sia immagine di almeno un vettore di $U$
1) applicazione lineare (tra spazi vettoriali);
Siano $ V e W $ due spazi vettoriali sul campo $ K $. Un'applicazione $ L:V->W $ si chiama applicazione lineare se verifica le seguenti proprietà: $ 1: f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) AA v1 e v2 in V. 2:f(av)=f(v) AA a in RR e AA v in V$.
matrice associata a un'applicazione lineare;
Data un'applicazione lineare $L:V->W$ e definite le basi $B1 e B2 $ rispettivamente degli spazi vettoriali $ V e W$ è possibile costruire la matrice associata all'applicazione il cui vettore colonna è dato dalle coordinate del vettore immagine della base $b1$ rispetto a $b2$
3) nucleo e immagine di un'applicazione.
Si definisce Nucleo di un'applicazione il sootinsieme dei vettori V che hanno come immagine il vettore nullo $Ker={v in V,f(v)=0}$
Si definisce immagine di un'appicazione lineare un vettore $w in W$ tale che sia immagine di almeno un vettore di $U$
Bene. La 1 e la 3 sono impeccabili, la 2 (che è la più importante, forse) non è scritta proprio benissimo, ma non importa: l'importante è che tu abbia chiaro come si costruisce questa matrice.
Ad esempio, se $F: \RR^2 to RR^2$ è l'applicazione che manda $(1,0) \mapsto (a,b)$ e $(0,1) \mapsto (c,d)$ quale matrice mi scriveresti?
Stessa domanda per $G: \RR^2 to RR^2$, dove $G$ è l'applicazione lineare che manda $(0,1) \mapsto (2,\pi)$ e tale che [tex](1,0) \in \ker G[/tex].
Ad esempio, se $F: \RR^2 to RR^2$ è l'applicazione che manda $(1,0) \mapsto (a,b)$ e $(0,1) \mapsto (c,d)$ quale matrice mi scriveresti?
Stessa domanda per $G: \RR^2 to RR^2$, dove $G$ è l'applicazione lineare che manda $(0,1) \mapsto (2,\pi)$ e tale che [tex](1,0) \in \ker G[/tex].
Bene. La 1 e la 3 sono impeccabili, la 2 (che è la più importante, forse) non è scritta proprio benissimo, ma non importa: l'importante è che tu abbia chiaro come si costruisce questa matrice.
in effetti non è un caso sulla 2 nutro qualche dubbio ma vediamo..
se F:ℝ2→ℝ2 è l'applicazione che manda (1,0)↦(a,b) e (0,1)↦(c,d) quale matrice mi scriveresti?
$((1,a),(0,b))$ $((0,c),(1,d))$ ?
Stessa domanda per G:ℝ2→ℝ2, dove G è l'applicazione lineare che manda (0,1)↦(2,π) e tale che (1,0)∈kerG .
questa non mi è chiara purtoppo a condizione del Ker G mi blocca
No, non ci siamo.
Quella che mi hai scritto non è una matrice: come dovrei interpretare la tua scrittura? Come un prodotto matriciale? In ogni caso, non ci siamo.
Da che libro studi? Da dove hai preso quelle definizioni (in particolare la seconda)? Per definizione, fissate le basi rispettivamente in $V$ e in $W$ (spazi vettoriali su un campo $\mathbb K$), la matrice associata all'applicazione lineare $T: V \to W$ rispetto a tali basi si ottiene mettendo in colonna le immagini dei vettori della base (scritte in componenti rispetto alla base fissata in $W$).
Nel nostro caso, fissiamo la base canonica in $RR^2$: chi è l'immagine del primo vettore della base canonica mediante l'applicazione $F$? E l'immagine del secondo vettore? Prendi questi vettori e mettili in colonna, l'uno a fianco dell'altro.
Quella che mi hai scritto non è una matrice: come dovrei interpretare la tua scrittura? Come un prodotto matriciale? In ogni caso, non ci siamo.
Da che libro studi? Da dove hai preso quelle definizioni (in particolare la seconda)? Per definizione, fissate le basi rispettivamente in $V$ e in $W$ (spazi vettoriali su un campo $\mathbb K$), la matrice associata all'applicazione lineare $T: V \to W$ rispetto a tali basi si ottiene mettendo in colonna le immagini dei vettori della base (scritte in componenti rispetto alla base fissata in $W$).
Nel nostro caso, fissiamo la base canonica in $RR^2$: chi è l'immagine del primo vettore della base canonica mediante l'applicazione $F$? E l'immagine del secondo vettore? Prendi questi vettori e mettili in colonna, l'uno a fianco dell'altro.
No, non ci siamo. Quella che mi hai scritto non è una matrice: come dovrei interpretare la tua scrittura? Come un prodotto matriciale? In ogni caso, non ci siamo.
Si hai ragione. purtroppo fino ad ora non ho applicato praticamente questa definizione.. del resto l'insegnante non aveva detto nulla al riguardo... studio dal libro "lezione di Geometria e Algebra Lineare"Vaccaro.
fissiamo la base canonica in ℝ2: chi è l'immagine del primo vettore della base canonica mediante l'applicazione F? E l'immagine del secondo vettore? Prendi questi vettori e mettili in colonna, l'uno a fianco dell'altro.
allora i vettori della base canonica di $RR$ sono $(1,0)(0,1)$ in forma matriciale $((1,0),(0,1))$
si ottiene mettendo in colonna le immagini dei vettori della base (scritte in componenti rispetto alla base fissata in W).
qua sta il problema non riesco a capire come determinare le immagini dei vettori della base (scritte in componenti rispetto alla base fissata in W)
Realmente non so come ringraziarti.. immagino la pazienza che ci vuole. mi viene rabbia perchè almeno me le avesse spiegate a lezione..
$RR^2$ intendevo dire e non $RR$
"SpecialOne":
allora i vettori della base canonica di $RR$ sono $(1,0)(0,1)$ in forma matriciale $((1,0),(0,1))$
Attento, rileggi bene:
"Paolo90":
fissiamo la base canonica in $RR^2$: chi è l'immagine del primo vettore della base canonica mediante l'applicazione F? E l'immagine del secondo vettore? Prendi questi vettori e mettili in colonna, l'uno a fianco dell'altro.
Non devi mettere in colonna i vettori della base, ma la loro immagine:
"SpecialOne":
qua sta il problema non riesco a capire come determinare le immagini dei vettori della base (scritte in componenti rispetto alla base fissata in W)
Non devi determinare nulla: basta che rileggi molto attentamente la consegna dell'esercizio e vedrai che ti ho già dato tutto.
"SpecialOne":
Realmente non so come ringraziarti.. immagino la pazienza che ci vuole. mi viene rabbia perchè almeno me le avesse spiegate a lezione..
Prego, figurati.
non lo capisco come determino l'immagine del primo vettore della base canonica mediante l'applicazione F?
l'applicazione è sempre $ F:ℝ2→ℝ2$ è l'applicazione che manda $(1,0)↦(a,b)$ e $(0,1)↦(c,d)$
"Paolo90":
Ad esempio, se $F: \RR^2 to RR^2$ è l'applicazione che manda $(1,0) \mapsto (a,b)$ e $(0,1) \mapsto (c,d)$ quale matrice mi scriveresti?
Chi sarà l'immagine (=l'output, il risultato chiamalo come vuoi) di $(1,0)$?
$(a,b)$
Proprio lui. La matrice è quindi...
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