Determinare endomorfismo
mi sono ritrovato dinnanzi un esercizio fuori da quelli che sono solito fare su questo argomento e non so come procedere.
Siano U={(x,y,z,t)/in R^4/x+2y-z=0;x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t)/in R^4/x-y+z=0;x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo che ammetta U come nucleo e W come spazio immagine.
Mi scuso se non uso la scrittura adatta ma non ho capito come si fa, e ringrazio chiunque voglia aiutarmi a capire come svolgere l'esercizio.
Siano U={(x,y,z,t)/in R^4/x+2y-z=0;x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t)/in R^4/x-y+z=0;x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo che ammetta U come nucleo e W come spazio immagine.
Mi scuso se non uso la scrittura adatta ma non ho capito come si fa, e ringrazio chiunque voglia aiutarmi a capire come svolgere l'esercizio.
Risposte
ok e del secondo vettore è $(c,d)$? quindi devo mettere queste due immagine in forma matriciale ottenendo $((a,c),(b,d))$?
Sì, corretto. E' chiaro adesso?
Veniamo al secondo esercizietto che ti ho scritto: è praticamente identico, basta conoscere la definizione di nucleo.
Veniamo al secondo esercizietto che ti ho scritto: è praticamente identico, basta conoscere la definizione di nucleo.
ok si inizio a schiarirmi le idee. allora per il secondo esercizio
allora effettuo lo stesso ragionamento. vediamo
l'immagine del secondo vettore della base canonica è $(2,\pi)? $e sapendo che $v1=(1,0) in kerG $ dalla definizione di ker so quindi che $f(v1)=0$ quindi un immagine di $(1,0)$ è$(0,0)?$
la matrice è $((2,0),(\pi,0))$?
Stessa domanda per G:ℝ2→ℝ2, dove G è l'applicazione lineare che manda (0,1)↦(2,π) e tale che (1,0)∈kerG .
allora effettuo lo stesso ragionamento. vediamo
l'immagine del secondo vettore della base canonica è $(2,\pi)? $e sapendo che $v1=(1,0) in kerG $ dalla definizione di ker so quindi che $f(v1)=0$ quindi un immagine di $(1,0)$ è$(0,0)?$la matrice è $((2,0),(\pi,0))$?
Ci sei quasi.
1) Una base è un insieme ordinato di vettori: nel nostro caso c'è prima $v_1$ poi $v_2$ quindi la matrice non è quella ma devi scambiare...
2) Perché scrivi "un'immagine di $(1,0)$ è $(0,0)$"? Perché l'articolo indeterminativo?
1) Una base è un insieme ordinato di vettori: nel nostro caso c'è prima $v_1$ poi $v_2$ quindi la matrice non è quella ma devi scambiare...
2) Perché scrivi "un'immagine di $(1,0)$ è $(0,0)$"? Perché l'articolo indeterminativo?
scusami ho sbagliato a scrivere la formula nel precedente post $((0,2),(0,\pi))$
Si, la matrice ora è giusta. 
Ora torna indietro di qualche pagina e vedi se riesci a risolvere l'esercizio di partenza.
Ora torna indietro di qualche pagina e vedi se riesci a risolvere l'esercizio di partenza.
lo riscrivo per comodità di consultazione Siano $U={(x,y,z,t) in RR^4$ tale che $x+2y-z=0;x-2y-t=0}$ e$ W={(x,y,z,t) in RR^4$ tale che $x-y+z=0;x+y+t=0}$ sottospazi di $R^4$. Determinare un endomorfismo che ammetta $U$ come nucleo e $W$ come spazio immagine.
allora io devo cercare un endomorfismo del tipo$ L:U->W$ tale che $U$ sia il nucleo quindi applico la definizione di Ker sul sottospazio $U$ ${(x+2y-z=0),(x-2y-t=0):}$ e risolvo il sistema? io farei cosi ma nei nei primi post mi avevi consigliato di determinare una base di U $<<1,0,-1,-1> <0,1,1-1>$ che ho completato con una base di $RR^4$ scegliendo i vettori $u3=<0,0,1,0>$ e $u4=<0,0,01>$ e impongo le condizioni su questi.Come propongo col sistema è errato? quindi i primi due devono appartenere al nucleo e quindi $f(u1)=0$ e $f(u2)=0$ su W ho trovato la base $<1,0,-1,-1> <0,1,1,1> $ quindi la matrice associata all'applicazione è$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,1),(0,0,-1,1))$?
allora io devo cercare un endomorfismo del tipo$ L:U->W$ tale che $U$ sia il nucleo quindi applico la definizione di Ker sul sottospazio $U$ ${(x+2y-z=0),(x-2y-t=0):}$ e risolvo il sistema? io farei cosi ma nei nei primi post mi avevi consigliato di determinare una base di U $<<1,0,-1,-1> <0,1,1-1>$ che ho completato con una base di $RR^4$ scegliendo i vettori $u3=<0,0,1,0>$ e $u4=<0,0,01>$ e impongo le condizioni su questi.Come propongo col sistema è errato? quindi i primi due devono appartenere al nucleo e quindi $f(u1)=0$ e $f(u2)=0$ su W ho trovato la base $<1,0,-1,-1> <0,1,1,1> $ quindi la matrice associata all'applicazione è$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,1),(0,0,-1,1))$?
Molto bene, questo è esattamente quello che avevo in testa io. Alcune puntualizzazioni:
No, tu stai cercando un endomorfismo $L:RR^4 \to RR^4$.
Sì, esatto questa è la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi $u_1, u_2, u_3, u_4$ del dominio e la base canonica del codominio.
"SpecialOne":
allora io devo cercare un endomorfismo del tipo$ L:U->W$
No, tu stai cercando un endomorfismo $L:RR^4 \to RR^4$.
"SpecialOne":
quindi la matrice associata all'applicazione è$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,1),(0,0,-1,1))$?
Sì, esatto questa è la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi $u_1, u_2, u_3, u_4$ del dominio e la base canonica del codominio.
ottimo cerco un endomorfismo in $RR^4$ poiche ho sottospazi vettoriali di $RR^4$? quindi esercizio completo e corretto così scusami se abuso ancora della tua gentilezza la mia domanda sul sistema?
cerco un endomorfismo in $RR^4$ poiche ho sottospazi vettoriali di $RR^4$? quindi esercizio completo e corretto così scusami se abuso ancora della tua gentilezza la mia domanda sul sistema?
Per me (ma tieni conto che la notazione non è universale) un endomorfismo è una mappa lineare $V \to V$ (quindi lo spazio di partenza e di arrivo coincidono). Se poi è biiettivo, allora si chiama automorfismo.
Per quanto riguarda la tua domanda sul sistema, non capisco che cosa chiedi: quel sistema l'hai già risolto per trovare una base di $U$.
E' tutto chiaro?
Per quanto riguarda la tua domanda sul sistema, non capisco che cosa chiedi: quel sistema l'hai già risolto per trovare una base di $U$.
E' tutto chiaro?
si chiaro.grazie per la tua infinità disponibilità non potevo avere benvenuto migliore sul forum
non potevo avere benvenuto migliore sul forum
Ciao a tutti. Riapro questa vecchia discussione perchè mi si è presentato un esercizio molto simile a questo da risolvere. Ho letto tutta la discussione e ho compreso il procedimento.
Il mio dubbio riguarda la soluzione, cioè basta scrivere la matrice associata all'applicazione?
Non sarebbe più corretto scrivere l'endomorfismo nella forma L(x,y,z,t) = { ...... } ?
"SpecialOne":
lo riscrivo per comodità di consultazione Siano $U={(x,y,z,t) in RR^4$ tale che $x+2y-z=0;x-2y-t=0}$ e$ W={(x,y,z,t) in RR^4$ tale che $x-y+z=0;x+y+t=0}$ sottospazi di $R^4$. Determinare un endomorfismo che ammetta $U$ come nucleo e $W$ come spazio immagine.
allora io devo cercare un endomorfismo del tipo$ L:U->W$ tale che $U$ sia il nucleo quindi applico la definizione di Ker sul sottospazio $U$ ${(x+2y-z=0),(x-2y-t=0):}$ e risolvo il sistema? io farei cosi ma nei nei primi post mi avevi consigliato di determinare una base di U $<<1,0,-1,-1> <0,1,1-1>$ che ho completato con una base di $RR^4$ scegliendo i vettori $u3=<0,0,1,0>$ e $u4=<0,0,01>$ e impongo le condizioni su questi.Come propongo col sistema è errato? quindi i primi due devono appartenere al nucleo e quindi $f(u1)=0$ e $f(u2)=0$ su W ho trovato la base $<1,0,-1,-1> <0,1,1,1> $ quindi la matrice associata all'applicazione è$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,1),(0,0,-1,1))$?
Il mio dubbio riguarda la soluzione, cioè basta scrivere la matrice associata all'applicazione?
Non sarebbe più corretto scrivere l'endomorfismo nella forma L(x,y,z,t) = { ...... } ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo