Determinare dimensione e una base dell'immagine di f(H)
Buonasera,
la seguente traccia mi chiede di determinare la dimensione e una base dell'immagine di un sottospazione vettoriale $H$, vi riporto l'applicazione lineare $f$:
si consideri l'applicazione $f: mathbb{R^{2,2}} to mathbb{R^3}$ definita:
Problema :
Determinare la dimensione e una base dell'immagine $f(H)$ dove :
i miei passaggi sono, mi ricavo una base $B$ del sottospazio $H$, dove $B={(0,1,0,0),(2,0,2,-1)}$.
Siano quindi $a_1=(0,1,0,0);a_2=(2,0,2,-1)$ li sostituisco in $f$ e mi trovo come valori :
$f(a_1)=(1,0,1);f(a_2)=(-1,0,1)$.
Il risultato invece riportato sull'eserciziario è $f(H)=<(1,0,1),(1,0,3)>$.
Vi ringrazio in anticipo per la risposta
Buona serata.
la seguente traccia mi chiede di determinare la dimensione e una base dell'immagine di un sottospazione vettoriale $H$, vi riporto l'applicazione lineare $f$:
si consideri l'applicazione $f: mathbb{R^{2,2}} to mathbb{R^3}$ definita:
\(\displaystyle f((\begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix} )) \)$=(y+t,-x+z,x+y+t)$.
Problema :
Determinare la dimensione e una base dell'immagine $f(H)$ dove :
\(\displaystyle H=(\begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix} ) \in \mathbb{R^{2,2}}|x-z=z+2t=0 \)
i miei passaggi sono, mi ricavo una base $B$ del sottospazio $H$, dove $B={(0,1,0,0),(2,0,2,-1)}$.
Siano quindi $a_1=(0,1,0,0);a_2=(2,0,2,-1)$ li sostituisco in $f$ e mi trovo come valori :
$f(a_1)=(1,0,1);f(a_2)=(-1,0,1)$.
Il risultato invece riportato sull'eserciziario è $f(H)=<(1,0,1),(1,0,3)>$.
Vi ringrazio in anticipo per la risposta
Buona serata.
Risposte
È giusta sia la soluzione dell'eserciziario sia la tua! Il punto è che uno spazio vettoriale non ha una sola possibile base, quindi se anche ne trovi una differente va bene lo stesso purché generi lo stesso spazio vettoriale.
Nel tuo caso è evidente che le due basi generano lo stesso spazio vettoriale, infatti il vettore $(1,0,3)$ lo si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della tua base: $2f(a_1)+f(a_2)$. Quindi le due basi generano lo stesso spazio vettoriale!!
Nel tuo caso è evidente che le due basi generano lo stesso spazio vettoriale, infatti il vettore $(1,0,3)$ lo si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della tua base: $2f(a_1)+f(a_2)$. Quindi le due basi generano lo stesso spazio vettoriale!!
Buongiorno,
c'è una cosa che non mi è chiara, cioè :
il vettore $b_1=(1,0,3) in f(H)$ cioè $f(a_3)=b_1$ dove $a_3=(2,0,2,1)$.
Il vettore $a_3$ 'non voglio dire un'eresia' non genera il sotto spazio $H$ in quanto ottengo :
\(\displaystyle \begin{cases} x-z=0 \\ z+2t=0 \end{cases} \)
dove sostituendo
\(\displaystyle \begin{cases} 2-2=0 \\ 2+2=4 \ne 0 \end{cases} \).
Ciao
c'è una cosa che non mi è chiara, cioè :
il vettore $b_1=(1,0,3) in f(H)$ cioè $f(a_3)=b_1$ dove $a_3=(2,0,2,1)$.
Il vettore $a_3$ 'non voglio dire un'eresia' non genera il sotto spazio $H$ in quanto ottengo :
\(\displaystyle \begin{cases} x-z=0 \\ z+2t=0 \end{cases} \)
dove sostituendo
\(\displaystyle \begin{cases} 2-2=0 \\ 2+2=4 \ne 0 \end{cases} \).
Ciao
Bhè ma infatti in generale non è vero che $f^{-1}(f(H))=H$. Ciononostante $(1,0,3)=f(2,2,2,-1)$ con $(2,2,2,-1)\in H$ (e quindi $(1,0,3) \in f(H)$).
Ok ora mi è chiaro. Un 'ultima cosa quando ti sei calcolato il vettore $c=(2,2,2,-1)$ hai risolto il sistema
\(\displaystyle S= \begin{cases} y+t=1 \\ -x+z=0 \\ x+y+t=3 \end{cases} \)
per poi ritrovarti:
\(\displaystyle S= \begin{cases} x=2 \\ y=1-a \\ z=2 \\ t=a \end{cases} \)
in definitiva per avere il vettore $c$, hai raccolto $a$ oppure hai sostituito $a$ con $-1$, scusa la domanda banale ma voglio essere sicuro, tutta via penso che hai fatto la seconda ''scelta''.
Grazie
\(\displaystyle S= \begin{cases} y+t=1 \\ -x+z=0 \\ x+y+t=3 \end{cases} \)
per poi ritrovarti:
\(\displaystyle S= \begin{cases} x=2 \\ y=1-a \\ z=2 \\ t=a \end{cases} \)
in definitiva per avere il vettore $c$, hai raccolto $a$ oppure hai sostituito $a$ con $-1$, scusa la domanda banale ma voglio essere sicuro, tutta via penso che hai fatto la seconda ''scelta''.
Grazie
Bhé, sapendo che $(1,0,3)=2f(a_1)+f(a_2)$, sfruttando la linearità di $f$ si ha che
\[
(1,0,3)=2f(a_1)+f(a_2)=f(2a_1+a_2),
\]
quindi basta calcolare $2a_1+a_2$ e si ottiene $(2,2,2,-1)$.
\[
(1,0,3)=2f(a_1)+f(a_2)=f(2a_1+a_2),
\]
quindi basta calcolare $2a_1+a_2$ e si ottiene $(2,2,2,-1)$.
Grazie sei stato chiarissimo !!
Ora mi chiede nel testo,di determinare la dimensione e una base della controimmagine del sottospazio generato $f^-1(H)$, tale che $H=<(0,2,1)>$.
Svolti i calcoli mi trovo $f^-1(H)=<(1,0,3,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(f^-1(H))=2$
Dato che sono una persona titubante e quindi mi viene il dubbio
ora il vettore $x_1=(0,-1,0,1)$ non mi restituisce il valore $(0,2,1)$, ma posso pensare e affermare che :
In generale si ha:
Il sottospazio vettoriale generato $$, coincide con l'insieme dei vettori linearmente dipendente da $H$ .
Ora mi chiede nel testo,di determinare la dimensione e una base della controimmagine del sottospazio generato $f^-1(H)$, tale che $H=<(0,2,1)>$.
Svolti i calcoli mi trovo $f^-1(H)=<(1,0,3,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(f^-1(H))=2$
Dato che sono una persona titubante e quindi mi viene il dubbio
ora il vettore $x_1=(0,-1,0,1)$ non mi restituisce il valore $(0,2,1)$, ma posso pensare e affermare che :
In generale si ha:
Il sottospazio vettoriale generato $
ehm... mi sembra che ci sia un po' di confusione
Se hai uno spazio vettoriale $V$ e $H$ è un suo sottoinsieme di vettori, allora per definizione $$ è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di $H$. Se $H$ è un sottospazio vettoriale di $V$, non ha molto senso scrivere $$... cioè... ok che lo puoi vedere come un sottoinsieme di $V$, ma essendo anche un sottospazio vettoriale, si ha che $ =H$.
Il vettore $x_1=(0,-1,0,1)$ è un generatore del nucleo di $f$, quindi $f(x_1)=\underline{0}\in <(0,2,1)>$.
"galles90":
In generale si ha:
Il sottospazio vettoriale generato $$, coincide con l'insieme dei vettori linearmente dipendente da H .
Se hai uno spazio vettoriale $V$ e $H$ è un suo sottoinsieme di vettori, allora per definizione $
"galles90":
Dato che sono una persona titubante e quindi mi viene il dubbio
ora il vettore $x_1=(0,−1,0,1)$ non mi restituisce il valore $(0,2,1)$, ma posso pensare e affermare che : [...]
Il vettore $x_1=(0,-1,0,1)$ è un generatore del nucleo di $f$, quindi $f(x_1)=\underline{0}\in <(0,2,1)>$.
"billyballo2123":
ehm... mi sembra che ci sia un po' di confusione
si un po'
Si comunque ora mi è tutto chiaro il perchè di questa relazione
"billyballo2123":
Il vettore $ x_1=(0,-1,0,1) $ è un generatore del nucleo di $ f $, quindi $ f(x_1)=\underline{0}\in <(0,2,1)> $.
Grazie
Figurati 
"galles90":
sottospazione vettoriale
"dissonance":
[quote="galles90"]sottospazione vettoriale
[/quote]Ahahaha nuova teoria !!
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