Determinare autovalore dominante
Ciao a tutti,
se non vado errato, la definizione di autovalore dominante dovrebbe essere "l'autovalore in modulo massimo"
Nell'aultimo compito di "Calcolo Numerico" è uscito questo esercizio di cui non riesco a trovare soluzione.
Determinare l'autovalore dominante, ovvero un intervallo che lo contenga, (spiegando come in qualunque dei due casi) della matrice
Ora, un modo per trovare gli autovalori sarebbe quello di trovare gli zeri del polinomio caratteristico, che è dato da $det(A-\lambda I)$, ma essendo una matrice 4 x 4 mi sembra poco veloce e poco fattibile da fare in sede di esame, e poi c'è quella frase, "ovvero un intervallo che lo contenga" che mi da sospetto..
Sapreste aiutarmi?
Grazie mille a tutti
se non vado errato, la definizione di autovalore dominante dovrebbe essere "l'autovalore in modulo massimo"
Nell'aultimo compito di "Calcolo Numerico" è uscito questo esercizio di cui non riesco a trovare soluzione.
Determinare l'autovalore dominante, ovvero un intervallo che lo contenga, (spiegando come in qualunque dei due casi) della matrice
$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 5 , 6 , 7 , 8 ),( 8 , 7 , 6 , 5 ),( 4 , 3 , 2 , 1 ) ) $
Ora, un modo per trovare gli autovalori sarebbe quello di trovare gli zeri del polinomio caratteristico, che è dato da $det(A-\lambda I)$, ma essendo una matrice 4 x 4 mi sembra poco veloce e poco fattibile da fare in sede di esame, e poi c'è quella frase, "ovvero un intervallo che lo contenga" che mi da sospetto..
Sapreste aiutarmi?
Grazie mille a tutti
Risposte
Ci avevo pensato, ma non ero sicuro che era da usare
E provaci almeno. Mica uno può sempre andare a colpo sicuro
Usando il Teorema di Gershgorin riesco a dire che
$D=\cup_{i=1}^{4} D_i$ dove $ D_1={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $ $ D_2={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |5|+|7|+|8|} $ $ D_3={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |8|+|7|+|5|} $ $ D_4={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $
Poi (credo) dato che $D_1=D_4$ e $D_2=D_3$ posso dire che $D=D_1 \cup D_3$, ma altro non riesco a dire...può bastare questa come risposta al quesito?
Grazie a tutti
$D=\cup_{i=1}^{4} D_i$ dove $ D_1={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $ $ D_2={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |5|+|7|+|8|} $ $ D_3={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |8|+|7|+|5|} $ $ D_4={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $
Poi (credo) dato che $D_1=D_4$ e $D_2=D_3$ posso dire che $D=D_1 \cup D_3$, ma altro non riesco a dire...può bastare questa come risposta al quesito?
Grazie a tutti
C'è il trucco di considerare pure la trasposta per migliorare la precisione della stima, lo hai applicato?
La trasposta della mia matrice è
e quindi applicando il teorema ottengo $ D = \cup_{i=1}^4D_i $ dove $D_1 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |5|+|8|+|4|}$, $D_2 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |2|+|7|+|3|}$, $D_3 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |3|+|7|+|4|}$ e $D_4 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |4|+|8|+|5|}$
ovvero $D=D_1 \cup D_2 \cup D_3$
è corretto? ma cosa concludo?
$ ( ( 1 , 5 , 8 , 4 ),( 2 , 6 , 7 , 3 ),( 3 , 7 , 6 , 4 ),( 4 , 8 , 5 , 1 ) ) $
e quindi applicando il teorema ottengo $ D = \cup_{i=1}^4D_i $ dove $D_1 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |5|+|8|+|4|}$, $D_2 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |2|+|7|+|3|}$, $D_3 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |3|+|7|+|4|}$ e $D_4 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |4|+|8|+|5|}$
ovvero $D=D_1 \cup D_2 \cup D_3$
è corretto? ma cosa concludo?
Eh buh chi ce l'ha il tempo di controllare i conti. Comunque con questo trucco puoi fare diventare più piccini i tuoi cerchi di Gershgorin.
E adesso, forza, ragiona. Devi trovare l'autovalore più grande in modulo. Disegnati i cerchi di Gershgorin e vedi di localizzarlo. Non chiedere ad ogni passo.
E adesso, forza, ragiona. Devi trovare l'autovalore più grande in modulo. Disegnati i cerchi di Gershgorin e vedi di localizzarlo. Non chiedere ad ogni passo.
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