Determinare applicazione lineare conoscendo Ker e Im
Ciao a tutti, come da titolo devo determinare un'applicazione lineare $f: RR^3 rightarrow RR^3 $ tale che $ker(f)=U nn W$ ($W={(x,y,z) in RR^3 : 2x-y+z=0}$ e $U={(x,y,z) in RR^3 : -x+y+z=0}$) e $Im(f)=W$.
ora, dopo aver determinato una base di $U nn W={(1,3/2,-1/2)}$ e $Im(f)={(x,y,y-2x)}$ ho proseguito imponendo che $f(v_1)=(1,0,-2)$ e $f(v_2)=(0,1,1)$. non so più come procedere. qualcuno mi dà una dritta sul modo di procedere? l'imporre $f(v_1)=(1,0,-2)$ e $f(v_2)=(0,1,1)$ è corretto?
grazie a tutti
ora, dopo aver determinato una base di $U nn W={(1,3/2,-1/2)}$ e $Im(f)={(x,y,y-2x)}$ ho proseguito imponendo che $f(v_1)=(1,0,-2)$ e $f(v_2)=(0,1,1)$. non so più come procedere. qualcuno mi dà una dritta sul modo di procedere? l'imporre $f(v_1)=(1,0,-2)$ e $f(v_2)=(0,1,1)$ è corretto?
grazie a tutti
Risposte
Chi è $v_1$ e $v_2$? ho ragionato in questa maniera :
Allora,
$U nn W = { (x,y,z) \in RR^3 | 2x-y+z=0 , -x+y+z=0} =\:=Kerf$ per ipotesi. (1)
Inoltre $Imf = W = { (x,y,z) \in RR^3 | y=2x+z } = {(x,2x+z,z) | x,z \in RR} $
$= < v_2=(1,2,0) , v_3=(0 , 1,1)>$
Consideriamo la base $B={ (1,0,0)=e_1 , v_3, v_1}$ di $RR^3$.
Si ha che $EE ! : \phi : RR^3-> RR^3$ lineare tale che $\phi(v_1) = 0_{RR^3}$ , $\phi(e_1)=v_3 $, $\phi(v_3)=v_2$. Tale applicazione soddisfa le condizioni richieste
Allora,
$U nn W = { (x,y,z) \in RR^3 | 2x-y+z=0 , -x+y+z=0} =
Inoltre $Imf = W = { (x,y,z) \in RR^3 | y=2x+z } = {(x,2x+z,z) | x,z \in RR} $
$= < v_2=(1,2,0) , v_3=(0 , 1,1)>$
Consideriamo la base $B={ (1,0,0)=e_1 , v_3, v_1}$ di $RR^3$.
Si ha che $EE ! : \phi : RR^3-> RR^3$ lineare tale che $\phi(v_1) = 0_{RR^3}$ , $\phi(e_1)=v_3 $, $\phi(v_3)=v_2$. Tale applicazione soddisfa le condizioni richieste
ok, devo cercare di capire il ragionamento generale...correggimi se sbaglio:
hai trovato $ W nn U=ker(f) $ per ipotesi, e fin qui ci siamo.
successivamente hai ricavato l' $Im(f)$ da $W$.
poi, dato che i tre vettori trovati non sono linearmente indipendenti, ovviamente, hai sostituito $v_2$ con $e_1$.
quello che non capisco è l'ultimo passaggio, ossia come hai trovato che $EE ! : phi : RR^3-> RR^3 $ lineare tale che (in particolare, da cosa deduci che sia unica?) $ phi(v_1) = 0_{RR^3}, phi(v_2)=v_3, phi(v_3)=v_2$ ?
hai trovato $ W nn U=ker(f) $ per ipotesi, e fin qui ci siamo.
successivamente hai ricavato l' $Im(f)$ da $W$.
poi, dato che i tre vettori trovati non sono linearmente indipendenti, ovviamente, hai sostituito $v_2$ con $e_1$.
quello che non capisco è l'ultimo passaggio, ossia come hai trovato che $EE ! : phi : RR^3-> RR^3 $ lineare tale che (in particolare, da cosa deduci che sia unica?) $ phi(v_1) = 0_{RR^3}, phi(v_2)=v_3, phi(v_3)=v_2$ ?
Me lo garantisce il seguente teorema :
Siano $V,W$ due spazi vettoriali su $K$. E sia $B={v_1,..,v_n}$ una base di $V$ e $w_1,..,w_n$ vettori di $W$ qualsiasi. Allora esiste ed è unica $\phi : V-> W$ lineare e tale che $\phi(v_i)=w_i$ , $AA i \in {1,.,n}$
Siano $V,W$ due spazi vettoriali su $K$. E sia $B={v_1,..,v_n}$ una base di $V$ e $w_1,..,w_n$ vettori di $W$ qualsiasi. Allora esiste ed è unica $\phi : V-> W$ lineare e tale che $\phi(v_i)=w_i$ , $AA i \in {1,.,n}$
Quindi secondo il teorema non sarebbe sbagliato nemmeno scrivere $phi(v_1)=v_2, phi(v_2)=v_3$, e $phi(v_3)=0_(RR^3)$, in sostanza, non è rilevante l'ordine con cui prendo i vettori del dominio e dell'immagine giusto?
grazie mille!
grazie mille!
Sarebbe sbagliato perché $v_3$ non sta nel nucleo! invece tu vuoi che $Kerf=$
ah si scusa, mi è sfuggita la condizione...se invece lascio $f(v_1)=0_(RR^3)$ invertendo gli altri due è corretto, giusto?
a mio parere sì
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